Álgebra linear Exemplos

$3 x + y + 2 z = - 6$ , $2 x - 3 y - z = - 3$ , $x + 4 y + 3 z = - 3$

Step 1

Encontre $A X = B$ do sistema de equações.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 2 \\ 2 & - 3 & - 1 \\ 1 & 4 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ - 3 \end{array}]$

Step 2

Encontre o inverso da matriz do coeficiente.

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Estabeleça uma matriz que seja dividida em duas partes iguais. No lado esquerdo, preencha os elementos da matriz original. No lado direito, preencha os elementos da matriz identidade. Para encontrar a matriz inversa, use as operações de linha para converter o lado esquerdo em matriz identidade. Depois disso, o inverso da matriz original estará do lado direito da matriz dupla.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ em $R_{1}$ (linha $1$ ) para converter alguns elementos na linha em $1$ .

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Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pela operação de linha $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} \\ 2 & - 3 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{3}) \cdot (3) & (\frac{1}{3}) \cdot (1) & (\frac{1}{3}) \cdot (2) & (\frac{1}{3}) \cdot (1) & (\frac{1}{3}) \cdot (0) & (\frac{1}{3}) \cdot (0) \\ 2 & - 3 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

Simplifique $R_{1}$ (linha $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ em $R_{2}$ (linha $2$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pela operação de linha $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (\frac{1}{3}) - 3 & (- 2) \cdot (\frac{2}{3}) - 1 & (- 2) \cdot (\frac{1}{3}) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 1 & (- 2) \cdot (0) + 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifique $R_{2}$ (linha $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{11}{3} & - \frac{7}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ em $R_{3}$ (linha $3$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pela operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{11}{3} & - \frac{7}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{11}{3} & - \frac{7}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (\frac{1}{3}) + 4 & (- 1) \cdot (\frac{2}{3}) + 3 & (- 1) \cdot (\frac{1}{3}) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifique $R_{3}$ (linha $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{11}{3} & - \frac{7}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{2} = - \frac{3}{11} R_{2}$ em $R_{2}$ (linha $2$ ) para converter alguns elementos na linha em $1$ .

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Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pela operação de linha $R_{2} = - \frac{3}{11} R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - \frac{3}{11} R_{2} & - \frac{3}{11} R_{2} & - \frac{3}{11} R_{2} & - \frac{3}{11} R_{2} & - \frac{3}{11} R_{2} & - \frac{3}{11} R_{2} \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{3}{11} R_{2}$

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{2} = - \frac{3}{11} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ (- \frac{3}{11}) \cdot (0) & (- \frac{3}{11}) \cdot (- \frac{11}{3}) & (- \frac{3}{11}) \cdot (- \frac{7}{3}) & (- \frac{3}{11}) \cdot (- \frac{2}{3}) & (- \frac{3}{11}) \cdot (1) & (- \frac{3}{11}) \cdot (0) \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{3}{11} R_{2}$

Simplifique $R_{2}$ (linha $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ em $R_{1}$ (linha $1$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pela operação de linha $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{3}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{3}) \cdot (1) + \frac{1}{3} & (- \frac{1}{3}) \cdot (\frac{7}{11}) + \frac{2}{3} & (- \frac{1}{3}) \cdot (\frac{2}{11}) + \frac{1}{3} & (- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{3}{11}) + 0 & (- \frac{1}{3}) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$

Simplifique $R_{1}$ (linha $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{3} = - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3}$ em $R_{3}$ (linha $3$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pela operação de linha $R_{3} = - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} & - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} & - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} & - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} & - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} & - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3}$

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{3} = - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ (- \frac{11}{3}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{11}{3}) \cdot (1) + \frac{11}{3} & (- \frac{11}{3}) \cdot (\frac{7}{11}) + \frac{7}{3} & (- \frac{11}{3}) \cdot (\frac{2}{11}) - \frac{1}{3} & (- \frac{11}{3}) \cdot (- \frac{3}{11}) + 0 & (- \frac{11}{3}) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3}$

Simplifique $R_{3}$ (linha $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$ em $R_{3}$ (linha $3$ ) para converter alguns elementos na linha em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pela operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ (- 1) \cdot (0) & (- 1) \cdot (0) & (- 1) \cdot (0) & (- 1) \cdot (- 1) & (- 1) \cdot (1) & (- 1) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$

Simplifique $R_{3}$ (linha $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{1} = - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1}$ em $R_{1}$ (linha $1$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pela operação de linha $R_{1} = - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1}$

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{1} = - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3}{11}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{3}{11}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{3}{11}) \cdot (0) + \frac{5}{11} & (- \frac{3}{11}) \cdot (1) + \frac{3}{11} & (- \frac{3}{11}) \cdot (- 1) + \frac{1}{11} & (- \frac{3}{11}) \cdot (- 1) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1}$

Simplifique $R_{1}$ (linha $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & 0 & \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{2} = - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2}$ em $R_{2}$ (linha $2$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pela operação de linha $R_{2} = - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & 0 & \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2}$

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{2} = - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & 0 & \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ (- \frac{2}{11}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{2}{11}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{2}{11}) \cdot (0) + \frac{7}{11} & (- \frac{2}{11}) \cdot (1) + \frac{2}{11} & (- \frac{2}{11}) \cdot (- 1) - \frac{3}{11} & (- \frac{2}{11}) \cdot (- 1) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2}$

Simplifique $R_{2}$ (linha $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & 0 & \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{2}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Como o determinante da matriz é zero, não há inverso.

Nenhum inverso

Step 3

Como a matriz não tem um inverso, ela não pode ser resolvida usando a matriz inversa.

Nenhuma solução