Álgebra linear Exemplos

$\frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = - \frac{13}{2}$ , $3 x - y = 6$

Etapa 1

Encontre $A X = B$ do sistema de equações.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\ 3 & - 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{13}{2} \\ 6 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre o inverso da matriz do coeficiente.

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Etapa 2.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2.2

Find the determinant.

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Etapa 2.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 - 3 (\frac{2}{3})$

Etapa 2.2.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} - 3 (\frac{2}{3})$

Etapa 2.2.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} - 3 (\frac{2}{3})$

Etapa 2.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.2.2.1.3.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$- \frac{1}{2} + 3 (- 1) \frac{2}{3}$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2} + 3 \cdot - 1 \frac{2}{3}$

Etapa 2.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2} - 1 \cdot 2$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} - 2$

Etapa 2.2.2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.2.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 - 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 1 - 4}{2}$

Etapa 2.2.2.5.2

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$\frac{- 5}{2}$

Etapa 2.2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{2}$

Etapa 2.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 2.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{5}{2}} [\begin{array}{c} - 1 & - \frac{2}{3} \\ - 3 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{5}{2}} [\begin{array}{c} - 1 & - \frac{2}{3} \\ - 3 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\frac{5}{2}} [\begin{array}{c} - 1 & - \frac{2}{3} \\ - 3 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (1 (\frac{2}{5})) [\begin{array}{c} - 1 & - \frac{2}{3} \\ - 3 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.7

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$- \frac{2}{5} [\begin{array}{c} - 1 & - \frac{2}{3} \\ - 3 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.8

Multiplique $- \frac{2}{5}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} \cdot - 1 & - \frac{2}{5} (- \frac{2}{3}) \\ - \frac{2}{5} \cdot - 3 & - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- \frac{2}{5} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.9.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 (\frac{2}{5}) & - \frac{2}{5} (- \frac{2}{3}) \\ - \frac{2}{5} \cdot - 3 & - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.1.2

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} (- \frac{2}{3}) \\ - \frac{2}{5} \cdot - 3 & - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.2

Multiplique $- \frac{2}{5} (- \frac{2}{3})$ .

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Etapa 2.9.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 1 (\frac{2}{5}) \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{5} \cdot - 3 & - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.2.2

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ - \frac{2}{5} \cdot - 3 & - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.2.3

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} \\ - \frac{2}{5} \cdot - 3 & - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{5 \cdot 3} \\ - \frac{2}{5} \cdot - 3 & - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.2.5

Multiplique $5$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ - \frac{2}{5} \cdot - 3 & - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.3

Multiplique $- \frac{2}{5} \cdot - 3$ .

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Etapa 2.9.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ 3 (\frac{2}{5}) & - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.3.2

Combine $3$ e $\frac{2}{5}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{3 \cdot 2}{5} & - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{6}{5} & - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.9.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{5}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 2}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 (- 1)}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.4.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 2.9.4.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 1}{5} \end{array}]$

Etapa 2.9.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{6}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}]$

Etapa 3

Multiplique pela esquerda os dois lados da equação da matriz pela matriz inversa.

$([\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{6}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\ 3 & - 1 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{6}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - \frac{13}{2} \\ 6 \end{array}]$

Etapa 4

Qualquer matriz multiplicada por seu inverso é sempre igual a $1$ . $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{6}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - \frac{13}{2} \\ 6 \end{array}]$

Etapa 5

Multiplique $[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{4}{15} \\ \frac{6}{5} & - \frac{1}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{13}{2} \\ 6 \end{array}]$ .

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Etapa 5.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 1$ .

Etapa 5.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} (- \frac{13}{2}) + \frac{4}{15} \cdot 6 \\ \frac{6}{5} (- \frac{13}{2}) - \frac{1}{5} \cdot 6 \end{array}]$

Etapa 5.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} - 1 \\ - 9 \end{array}]$

Etapa 6

Simplifique os lados esquerdo e direito.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ - 9 \end{array}]$

Etapa 7

Encontre a solução.

$x = - 1$

$y = - 9$