Álgebra linear Exemplos

$- x + y + z = - 1$ , $- x + 3 y - 5 z = - 13$ , $6 x - 5 y - 9 z = 0$

Step 1

Encontre $A X = B$ do sistema de equações.

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 3 & - 5 \\ 6 & - 5 & - 9 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ - 13 \\ 0 \end{array}]$

Step 2

Encontre o inverso da matriz do coeficiente.

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Estabeleça uma matriz que seja dividida em duas partes iguais. No lado esquerdo, preencha os elementos da matriz original. No lado direito, preencha os elementos da matriz identidade. Para encontrar a matriz inversa, use as operações de linha para converter o lado esquerdo em matriz identidade. Depois disso, o inverso da matriz original estará do lado direito da matriz dupla.

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 3 & - 5 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 5 & - 9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{1} = - 1 \cdot R_{1}$ em $R_{1}$ (linha $1$ ) para converter alguns elementos na linha em $1$ .

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Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pela operação de linha $R_{1} = - 1 \cdot R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot R_{1} & - 1 \cdot R_{1} & - 1 \cdot R_{1} & - 1 \cdot R_{1} & - 1 \cdot R_{1} & - 1 \cdot R_{1} \\ - 1 & 3 & - 5 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 5 & - 9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{1}$

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{1} = - 1 \cdot R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- 1) \cdot (- 1) & (- 1) \cdot (1) & (- 1) \cdot (1) & (- 1) \cdot (1) & (- 1) \cdot (0) & (- 1) \cdot (0) \\ - 1 & 3 & - 5 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 5 & - 9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{1}$

Simplifique $R_{1}$ (linha $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 3 & - 5 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 5 & - 9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{2} = R_{1} + R_{2}$ em $R_{2}$ (linha $2$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

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Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pela operação de linha $R_{2} = R_{1} + R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ R_{1} + R_{2} & R_{1} + R_{2} & R_{1} + R_{2} & R_{1} + R_{2} & R_{1} + R_{2} & R_{1} + R_{2} \\ 6 & - 5 & - 9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = R_{1} + R_{2}$

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{2} = R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 3 & - 1 - 5 & - 1 + 0 & 0 + 1 & 0 + 0 \\ 6 & - 5 & - 9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = R_{1} + R_{2}$

Simplifique $R_{2}$ (linha $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 6 & - 1 & 1 & 0 \\ 6 & - 5 & - 9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{3} = - 6 \cdot R_{1} + R_{3}$ em $R_{3}$ (linha $3$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

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Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pela operação de linha $R_{3} = - 6 \cdot R_{1} + R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 6 & - 1 & 1 & 0 \\ - 6 \cdot R_{1} + R_{3} & - 6 \cdot R_{1} + R_{3} & - 6 \cdot R_{1} + R_{3} & - 6 \cdot R_{1} + R_{3} & - 6 \cdot R_{1} + R_{3} & - 6 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 6 \cdot R_{1} + R_{3}$

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{3} = - 6 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 6 & - 1 & 1 & 0 \\ (- 6) \cdot (1) + 6 & (- 6) \cdot (- 1) - 5 & (- 6) \cdot (- 1) - 9 & (- 6) \cdot (- 1) + 0 & (- 6) \cdot (0) + 0 & (- 6) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 6 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifique $R_{3}$ (linha $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & - 6 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 6 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$ em $R_{2}$ (linha $2$ ) para converter alguns elementos na linha em $1$ .

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Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pela operação de linha $R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} & \frac{1}{2} R_{2} \\ 0 & 1 & - 3 & 6 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (- 6) & (\frac{1}{2}) \cdot (- 1) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) \\ 0 & 1 & - 3 & 6 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{1}{2} R_{2}$

Simplifique $R_{2}$ (linha $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 6 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ em $R_{1}$ (linha $1$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

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Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pela operação de linha $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 6 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = R_{2} + R_{1}$

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 1 - 1 & - 3 - 1 & - \frac{1}{2} - 1 & \frac{1}{2} + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 6 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = R_{2} + R_{1}$

Simplifique $R_{1}$ (linha $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 6 & 0 & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{2} + R_{3}$ em $R_{3}$ (linha $3$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

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Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pela operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{2} + R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ - 1 \cdot R_{2} + R_{3} & - 1 \cdot R_{2} + R_{3} & - 1 \cdot R_{2} + R_{3} & - 1 \cdot R_{2} + R_{3} & - 1 \cdot R_{2} + R_{3} & - 1 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{2} + R_{3}$

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{3} = - 1 \cdot R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ (- 1) \cdot (0) + 0 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- 3) - 3 & (- 1) \cdot (- \frac{1}{2}) + 6 & (- 1) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{2} + R_{3}$

Simplifique $R_{3}$ (linha $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{13}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{3} = \frac{2}{13} R_{3}$ em $R_{3}$ (linha $3$ ) para converter alguns elementos na linha em $1$ .

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Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pela operação de linha $R_{3} = \frac{2}{13} R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{2}{13} R_{3} & \frac{2}{13} R_{3} & \frac{2}{13} R_{3} & \frac{2}{13} R_{3} & \frac{2}{13} R_{3} & \frac{2}{13} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{2}{13} R_{3}$

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{3} = \frac{2}{13} R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ (\frac{2}{13}) \cdot (0) & (\frac{2}{13}) \cdot (0) & (\frac{2}{13}) \cdot (0) & (\frac{2}{13}) \cdot (\frac{13}{2}) & (\frac{2}{13}) \cdot (- \frac{1}{2}) & (\frac{2}{13}) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = \frac{2}{13} R_{3}$

Simplifique $R_{3}$ (linha $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{13} & \frac{2}{13} \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{1} = \frac{3}{2} R_{3} + R_{1}$ em $R_{1}$ (linha $1$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

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Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pela operação de linha $R_{1} = \frac{3}{2} R_{3} + R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{2} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{2} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{13} & \frac{2}{13} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{3} + R_{1}$

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{1} = \frac{3}{2} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{3}{2}) \cdot (0) + 1 & (\frac{3}{2}) \cdot (0) + 0 & (\frac{3}{2}) \cdot (0) - 4 & (\frac{3}{2}) \cdot (1) - \frac{3}{2} & (\frac{3}{2}) \cdot (- \frac{1}{13}) + \frac{1}{2} & (\frac{3}{2}) \cdot (\frac{2}{13}) + 0 \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{13} & \frac{2}{13} \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{2} R_{3} + R_{1}$

Simplifique $R_{1}$ (linha $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 & \frac{5}{13} & \frac{3}{13} \\ 0 & 1 & - 3 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{13} & \frac{2}{13} \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{2} = \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$ em $R_{2}$ (linha $2$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pela operação de linha $R_{2} = \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 & \frac{5}{13} & \frac{3}{13} \\ \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} & \frac{1}{2} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{13} & \frac{2}{13} \end{array}]$

$R_{2} = \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{2} = \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 & \frac{5}{13} & \frac{3}{13} \\ (\frac{1}{2}) \cdot (0) + 0 & (\frac{1}{2}) \cdot (0) + 1 & (\frac{1}{2}) \cdot (0) - 3 & (\frac{1}{2}) \cdot (1) - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{13}) + \frac{1}{2} & (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{2}{13}) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{13} & \frac{2}{13} \end{array}]$

$R_{2} = \frac{1}{2} R_{3} + R_{2}$

Simplifique $R_{2}$ (linha $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 & \frac{5}{13} & \frac{3}{13} \\ 0 & 1 & - 3 & 0 & \frac{6}{13} & \frac{1}{13} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{13} & \frac{2}{13} \end{array}]$

Como o determinante da matriz é zero, não há inverso.

Nenhum inverso

Step 3

Como a matriz não tem um inverso, ela não pode ser resolvida usando a matriz inversa.

Nenhuma solução