Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \\ - 1 & - 11 & 6 \end{array}]$

Etapa 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Etapa 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 11 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.1.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = - 3 \cdot 6 - (- 11 \cdot 2)$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $6$ .

$a_{11} = - 18 - (- 11 \cdot 2)$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Multiplique $- (- 11 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.2.1

Multiplique $- 11$ por $2$ .

$a_{11} = - 18 - - 22$

Etapa 2.1.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 22$ .

$a_{11} = - 18 + 22$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $- 18$ e $22$ .

$a_{11} = 4$

Etapa 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 3 \cdot 6 - (- 1 \cdot 2)$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Multiplique $3$ por $6$ .

$a_{12} = 18 - (- 1 \cdot 2)$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Multiplique $- (- 1 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$a_{12} = 18 - - 2$

Etapa 2.2.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$a_{12} = 18 + 2$

Etapa 2.2.2.2.2

Some $18$ e $2$ .

$a_{12} = 20$

Etapa 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ - 1 & - 11 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 3 \cdot - 11 - - - 3$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 11$ .

$a_{13} = - 33 - - - 3$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique $- - - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$a_{13} = - 33 - 1 \cdot 3$

Etapa 2.3.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$a_{13} = - 33 - 3$

Etapa 2.3.2.2.2

Subtraia $3$ de $- 33$ .

$a_{13} = - 36$

Etapa 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 11 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 6 - (- 11 \cdot - 1)$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$a_{21} = 12 - (- 11 \cdot - 1)$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Multiplique $- (- 11 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.2.1

Multiplique $- 11$ por $- 1$ .

$a_{21} = 12 - 1 \cdot 11$

Etapa 2.4.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$a_{21} = 12 - 11$

Etapa 2.4.2.2.2

Subtraia $11$ de $12$ .

$a_{21} = 1$

Etapa 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.5.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot 6 - - - 1$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$a_{22} = 6 - - - 1$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Multiplique $- - - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a_{22} = 6 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$a_{22} = 6 - 1$

Etapa 2.5.2.2.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$a_{22} = 5$

Etapa 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 11 \end{array} |$

Etapa 2.6.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot - 11 - (- 1 \cdot 2)$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$a_{23} = - 11 - (- 1 \cdot 2)$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Multiplique $- (- 1 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$a_{23} = - 11 - - 2$

Etapa 2.6.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$a_{23} = - 11 + 2$

Etapa 2.6.2.2.2

Some $- 11$ e $2$ .

$a_{23} = - 9$

Etapa 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Etapa 2.7.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$a_{31} = 4 - (- 3 \cdot - 1)$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Multiplique $- (- 3 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.2.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$a_{31} = 4 - 1 \cdot 3$

Etapa 2.7.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$a_{31} = 4 - 3$

Etapa 2.7.2.2.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$a_{31} = 1$

Etapa 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Etapa 2.8.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot - 1$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$a_{32} = 2 - 3 \cdot - 1$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$a_{32} = 2 + 3$

Etapa 2.8.2.2.2

Some $2$ e $3$ .

$a_{32} = 5$

Etapa 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Etapa 2.9.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot - 3 - 3 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$a_{33} = - 3 - 3 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$a_{33} = - 3 - 6$

Etapa 2.9.2.2.2

Subtraia $6$ de $- 3$ .

$a_{33} = - 9$

Etapa 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 4 & - 20 & - 36 \\ - 1 & 5 & 9 \\ 1 & - 5 & - 9 \end{array}]$