Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 & 4 \\ 3 & 5 & 5 \\ 9 & 10 & 6 \end{array}]$

Etapa 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Etapa 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Calculate the minor for element

$a_{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 5 \\ 10 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.1.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 5 \cdot 6 - 10 \cdot 5$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Multiplique

$5$ por

$6$ .

$a_{11} = 30 - 10 \cdot 5$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Multiplique

$- 10$ por

$5$ .

$a_{11} = 30 - 50$

Etapa 2.1.2.2.2

Subtraia

$50$ de

$30$ .

$a_{11} = - 20$

Etapa 2.2

Calculate the minor for element

$a_{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 9 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 3 \cdot 6 - 9 \cdot 5$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$6$ .

$a_{12} = 18 - 9 \cdot 5$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Multiplique

$- 9$ por

$5$ .

$a_{12} = 18 - 45$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia

$45$ de

$18$ .

$a_{12} = - 27$

Etapa 2.3

Calculate the minor for element

$a_{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 9 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 3 \cdot 10 - 9 \cdot 5$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Multiplique

$3$ por

$10$ .

$a_{13} = 30 - 9 \cdot 5$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique

$- 9$ por

$5$ .

$a_{13} = 30 - 45$

Etapa 2.3.2.2.2

Subtraia

$45$ de

$30$ .

$a_{13} = - 15$

Etapa 2.4

Calculate the minor for element

$a_{21}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 10 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = - 4 \cdot 6 - 10 \cdot 4$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique

$- 4$ por

$6$ .

$a_{21} = - 24 - 10 \cdot 4$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Multiplique

$- 10$ por

$4$ .

$a_{21} = - 24 - 40$

Etapa 2.4.2.2.2

Subtraia

$40$ de

$- 24$ .

$a_{21} = - 64$

Etapa 2.5

Calculate the minor for element

$a_{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 9 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.5.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 5 \cdot 6 - 9 \cdot 4$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Multiplique

$5$ por

$6$ .

$a_{22} = 30 - 9 \cdot 4$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Multiplique

$- 9$ por

$4$ .

$a_{22} = 30 - 36$

Etapa 2.5.2.2.2

Subtraia

$36$ de

$30$ .

$a_{22} = - 6$

Etapa 2.6

Calculate the minor for element

$a_{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 9 & 10 \end{array} |$

Etapa 2.6.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 5 \cdot 10 - 9 \cdot - 4$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Multiplique

$5$ por

$10$ .

$a_{23} = 50 - 9 \cdot - 4$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Multiplique

$- 9$ por

$- 4$ .

$a_{23} = 50 + 36$

Etapa 2.6.2.2.2

Some

$50$ e

$36$ .

$a_{23} = 86$

Etapa 2.7

Calculate the minor for element

$a_{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ 5 & 5 \end{array} |$

Etapa 2.7.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = - 4 \cdot 5 - 5 \cdot 4$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.1

Multiplique

$- 4$ por

$5$ .

$a_{31} = - 20 - 5 \cdot 4$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Multiplique

$- 5$ por

$4$ .

$a_{31} = - 20 - 20$

Etapa 2.7.2.2.2

Subtraia

$20$ de

$- 20$ .

$a_{31} = - 40$

Etapa 2.8

Calculate the minor for element

$a_{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Etapa 2.8.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 5 \cdot 5 - 3 \cdot 4$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Multiplique

$5$ por

$5$ .

$a_{32} = 25 - 3 \cdot 4$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Multiplique

$- 3$ por

$4$ .

$a_{32} = 25 - 12$

Etapa 2.8.2.2.2

Subtraia

$12$ de

$25$ .

$a_{32} = 13$

Etapa 2.9

Calculate the minor for element

$a_{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

The minor for

$a_{33}$ is the determinant with row

$3$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ 3 & 5 \end{array} |$

Etapa 2.9.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 5 \cdot 5 - 3 \cdot - 4$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1.1

Multiplique

$5$ por

$5$ .

$a_{33} = 25 - 3 \cdot - 4$

Etapa 2.9.2.2.1.2

Multiplique

$- 3$ por

$- 4$ .

$a_{33} = 25 + 12$

Etapa 2.9.2.2.2

Some

$25$ e

$12$ .

$a_{33} = 37$

Etapa 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

$-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} - 20 & 27 & - 15 \\ 64 & - 6 & - 86 \\ - 40 & - 13 & 37 \end{array}]$