Álgebra linear Exemplos

A = [\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}]

$A = [\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho

2

$2$ é a matriz quadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua

[\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 1.3.2

Substitua

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique

- λ

$- λ$ por cada elemento da matriz.

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique

0

$0$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique

0

$0$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 0 & 7 \frac{1}{7} & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

p (λ) = determinante [\begin{matrix} 0 - λ & 7 + 0 \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Subtraia

λ

$λ$ de

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 7 + 0 \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some

7

$7$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 7 \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.3

Some

\frac{1}{7}

$\frac{1}{7}$ e

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 7 \frac{1}{7} & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.4

Subtraia

λ

$λ$ de

0

$0$ .

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 7 \frac{1}{7} & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 7 \frac{1}{7} & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & - λ \end{array}]$

p (λ) = determinante [\begin{matrix} - λ & 7 \frac{1}{7} & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

p (λ) = - λ (- λ) - \frac{1}{7} \cdot 7

$p (λ) = - λ (- λ) - \frac{1}{7} \cdot 7$

Etapa 1.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - \frac{1}{7} \cdot 7

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - \frac{1}{7} \cdot 7$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique

λ

$λ$ por

λ

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.2.1

Mova

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - \frac{1}{7} \cdot 7

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - \frac{1}{7} \cdot 7$

Etapa 1.5.2.2.2

Multiplique

λ

$λ$ por

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

Etapa 1.5.2.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7

$p (λ) = 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

Etapa 1.5.2.4

Multiplique

λ^{2}

$λ^{2}$ por

1

$1$ .

p (λ) = λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7

$p (λ) = λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

Etapa 1.5.2.5

Cancele o fator comum de

7

$7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.5.1

Mova o negativo de maior ordem em

- \frac{1}{7}

$- \frac{1}{7}$ para o numerador.

p (λ) = λ^{2} + \frac{- 1}{7} \cdot 7

$p (λ) = λ^{2} + \frac{- 1}{7} \cdot 7$

Etapa 1.5.2.5.2

Cancele o fator comum.

$p (λ) = λ^{2} + \frac{- 1}{7} \cdot 7$

Etapa 1.5.2.5.3

Reescreva a expressão.

$p (λ) = λ^{2} - 1$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a

$0$ para encontrar os autovalores

$λ$ .

$λ^{2} - 1 = 0$

Etapa 1.7

Resolva

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Some

$1$ aos dois lados da equação.

$λ^{2} = 1$

Etapa 1.7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

Etapa 1.7.3

Qualquer raiz de

$1$ é

$1$ .

$λ = \pm 1$

Etapa 1.7.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Primeiro, use o valor positivo de

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

$λ = 1$

Etapa 1.7.4.2

Depois, use o valor negativo de

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

$λ = - 1$

Etapa 1.7.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$λ = 1, - 1$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 0 - 1 & 7 - 0 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Subtraia

$1$ de

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 - 0 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia

$0$ de

$7$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.3

Subtraia

$0$ de

$\frac{1}{7}$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 - 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.4

Subtraia

$1$ de

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & - 1 \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when

$λ = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 7 & - 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{7} \cdot - 7 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 7 y = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 y \\ y \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Some

$0$ e

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.2.2

Some

$7$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.2.3

Some

$\frac{1}{7}$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 + 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.2.4

Some

$0$ e

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 1 \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when

$λ = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & 1 - \frac{1}{7} \cdot 7 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 7 y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 7 y \\ y \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]}$