Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} h & 0 \\ 1 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} h - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

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Etapa 4.3.1

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} h - λ & 0 \\ 1 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} h - λ & 0 \\ 1 & - 2 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

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Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (h - λ) (- 2 - λ) - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.2.1

Expanda $(h - λ) (- 2 - λ)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = h (- 2 - λ) - λ (- 2 - λ) - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = h \cdot - 2 + h (- λ) - λ (- 2 - λ) - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = h \cdot - 2 + h (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1

Mova $- 2$ para a esquerda de $h$ .

$p (λ) = - 2 \cdot h + h (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 2 h - h λ - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2.2.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2.2.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2.2.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2.2.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 0$

Etapa 5.2.3

Subtraia $0$ de $- 2 h - h λ + 2 λ + λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + 2 λ + λ^{2}$

Etapa 5.2.4

Mova $2 λ$ .

$p (λ) = - 2 h - h λ + λ^{2} + 2 λ$

Etapa 5.2.5

Mova $- 2 h$ .

$p (λ) = - h λ + λ^{2} - 2 h + 2 λ$