Álgebra linear Exemplos

[\begin{matrix} 9 & 9 7 & 8 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica

p (λ)

$p (λ)$ .

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho

2

$2$ é a matriz quadrada

2 \times 2

$2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em

p (λ) = determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua

[\begin{matrix} 9 & 9 7 & 8 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}]$ por

A

$A$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 9 & 9 7 & 8 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

I_{2}

$I_{2}$ .

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 9 & 9 7 & 8 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = determinante ([\begin{matrix} 9 & 9 7 & 8 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique

$- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 9 & 9 \\ 7 & 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 9 + 0 \\ 7 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some

$9$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 9 \\ 7 + 0 & 8 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some

$7$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 9 - λ & 9 \\ 7 & 8 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (9 - λ) (8 - λ) - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Expanda

$(9 - λ) (8 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 9 (8 - λ) - λ (8 - λ) - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 9 \cdot 8 + 9 (- λ) - λ (8 - λ) - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 9 \cdot 8 + 9 (- λ) - λ \cdot 8 - λ (- λ) - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.1

Multiplique

$9$ por

$8$ .

$p (λ) = 72 + 9 (- λ) - λ \cdot 8 - λ (- λ) - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$9$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - λ \cdot 8 - λ (- λ) - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Multiplique

$8$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ - λ (- λ) - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.2.1.5

Multiplique

$λ$ por

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.5.1

Mova

$λ$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.2.1.5.2

Multiplique

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.2.1.6

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ + 1 λ^{2} - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.2.1.7

Multiplique

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = 72 - 9 λ - 8 λ + λ^{2} - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.2.2

Subtraia

$8 λ$ de

$- 9 λ$ .

$p (λ) = 72 - 17 λ + λ^{2} - 7 \cdot 9$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique

$- 7$ por

$9$ .

$p (λ) = 72 - 17 λ + λ^{2} - 63$

Etapa 5.2.2

Subtraia

$63$ de

$72$ .

$p (λ) = - 17 λ + λ^{2} + 9$

Etapa 5.2.3

Reordene

$- 17 λ$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 17 λ + 9$