Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $3$ é a matriz quadrada $3 \times 3$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.4

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 1 & 2 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 & 4 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 5.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 5 - λ & 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) ((5 - λ) (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Expanda $(5 - λ) (4 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 4 + 5 (- λ) - λ (4 - λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (5 \cdot 4 + 5 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 + 5 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 5 λ - 4 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.2.2

Subtraia $4 λ$ de $- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 9 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.4.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (20 - 9 λ + λ^{2} - 4) + 0$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia $4$ de $20$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (- 9 λ + λ^{2} + 16) + 0$

Etapa 5.4.2.3

Reordene $- 9 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$

Etapa 5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Combine os termos opostos em $0 + (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Some $0$ e $(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16) + 0$

Etapa 5.5.1.2

Some $(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$

Etapa 5.5.2

Expanda $(1 - λ) (λ^{2} - 9 λ + 16)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 9 λ) + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 9 λ) + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3.2

Multiplique $- 9 λ$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 1 \cdot 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3.4

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.4.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3.4.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

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Etapa 5.5.3.4.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3.4.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 9 λ) - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ \cdot λ - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3.6

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.6.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 (λ \cdot λ) - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3.6.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 9 λ^{2} - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3.7

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} + 9 λ^{2} - λ \cdot 16$

Etapa 5.5.3.8

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} + 9 λ^{2} - 16 λ$

Etapa 5.5.4

Some $λ^{2}$ e $9 λ^{2}$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 9 λ + 16 - λ^{3} - 16 λ$

Etapa 5.5.5

Subtraia $16 λ$ de $- 9 λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 25 λ + 16 - λ^{3}$

Etapa 5.5.6

Mova $16$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - 25 λ - λ^{3} + 16$

Etapa 5.5.7

Mova $- 25 λ$ .

$p (λ) = 10 λ^{2} - λ^{3} - 25 λ + 16$

Etapa 5.5.8

Reordene $10 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 10 λ^{2} - 25 λ + 16$