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Álgebra linear Exemplos
Etapa 1
Etapa 1.1
Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica .
Etapa 1.2
A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho é a matriz quadrada com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.
Etapa 1.3
Substitua os valores conhecidos em .
Etapa 1.3.1
Substitua por .
Etapa 1.3.2
Substitua por .
Etapa 1.4
Simplifique.
Etapa 1.4.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.4.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 1.4.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 1.4.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.2
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.2.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.2.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.3
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.4
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.4.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.6
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.6.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.6.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.7
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.7.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.7.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.8
Multiplique .
Etapa 1.4.1.2.8.1
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.8.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 1.4.2
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 1.4.3
Simplify each element.
Etapa 1.4.3.1
Subtraia de .
Etapa 1.4.3.2
Some e .
Etapa 1.4.3.3
Some e .
Etapa 1.4.3.4
Some e .
Etapa 1.4.3.5
Some e .
Etapa 1.4.3.6
Some e .
Etapa 1.4.3.7
Some e .
Etapa 1.5
Find the determinant.
Etapa 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Etapa 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Etapa 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Etapa 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Etapa 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Etapa 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Etapa 1.5.1.9
Add the terms together.
Etapa 1.5.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.4
Avalie .
Etapa 1.5.4.1
O determinante de uma matriz pode ser encontrado ao usar a fórmula .
Etapa 1.5.4.2
Simplifique o determinante.
Etapa 1.5.4.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.4.2.1.1
Expanda usando o método FOIL.
Etapa 1.5.4.2.1.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.4.2.1.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.4.2.1.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.4.2.1.2
Simplifique e combine termos semelhantes.
Etapa 1.5.4.2.1.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5
Multiplique por somando os expoentes.
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Mova .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.6
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.7
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.2.2
Some e .
Etapa 1.5.4.2.1.2.3
Some e .
Etapa 1.5.4.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.2
Subtraia de .
Etapa 1.5.5
Simplifique o determinante.
Etapa 1.5.5.1
Combine os termos opostos em .
Etapa 1.5.5.1.1
Some e .
Etapa 1.5.5.1.2
Some e .
Etapa 1.5.5.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 1.5.5.3
Multiplique por somando os expoentes.
Etapa 1.5.5.3.1
Mova .
Etapa 1.5.5.3.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.5.3.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.5.5.3.2.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 1.5.5.3.3
Some e .
Etapa 1.5.5.4
Multiplique por .
Etapa 1.6
Defina o polinômio característico como igual a para encontrar os autovalores .
Etapa 1.7
Resolva .
Etapa 1.7.1
Fatore de .
Etapa 1.7.1.1
Fatore de .
Etapa 1.7.1.2
Fatore de .
Etapa 1.7.1.3
Fatore de .
Etapa 1.7.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 1.7.3
Defina como igual a .
Etapa 1.7.4
Defina como igual a e resolva para .
Etapa 1.7.4.1
Defina como igual a .
Etapa 1.7.4.2
Resolva para .
Etapa 1.7.4.2.1
Some aos dois lados da equação.
Etapa 1.7.4.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Etapa 1.7.4.2.3
Simplifique .
Etapa 1.7.4.2.3.1
Reescreva como .
Etapa 1.7.4.2.3.1.1
Fatore de .
Etapa 1.7.4.2.3.1.2
Reescreva como .
Etapa 1.7.4.2.3.2
Elimine os termos abaixo do radical.
Etapa 1.7.4.2.4
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 1.7.4.2.4.1
Primeiro, use o valor positivo de para encontrar a primeira solução.
Etapa 1.7.4.2.4.2
Depois, use o valor negativo de para encontrar a segunda solução.
Etapa 1.7.4.2.4.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 1.7.5
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Etapa 3
Etapa 3.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
Etapa 3.2
Simplifique.
Etapa 3.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 3.2.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 3.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 3.2.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.2
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.4
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.6
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.7
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.8
Multiplique por .
Etapa 3.2.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
Etapa 3.2.2.1
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 3.2.2.2
Simplify each element.
Etapa 3.2.2.2.1
Some e .
Etapa 3.2.2.2.2
Some e .
Etapa 3.2.2.2.3
Some e .
Etapa 3.2.2.2.4
Some e .
Etapa 3.2.2.2.5
Some e .
Etapa 3.2.2.2.6
Some e .
Etapa 3.2.2.2.7
Some e .
Etapa 3.2.2.2.8
Some e .
Etapa 3.2.2.2.9
Some e .
Etapa 3.3
Find the null space when .
Etapa 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Etapa 3.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 3.3.2.1
Swap with to put a nonzero entry at .
Etapa 3.3.2.2
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.2.2
Simplifique .
Etapa 3.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.3.2
Simplifique .
Etapa 3.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 3.3.2.4.2
Simplifique .
Etapa 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Etapa 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Etapa 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Etapa 3.3.6
Write as a solution set.
Etapa 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Etapa 4
Etapa 4.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
Etapa 4.2
Simplifique.
Etapa 4.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 4.2.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 4.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 4.2.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.2
Multiplique .
Etapa 4.2.1.2.2.1
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.2.2
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.3
Multiplique .
Etapa 4.2.1.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.4
Multiplique .
Etapa 4.2.1.2.4.1
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.6
Multiplique .
Etapa 4.2.1.2.6.1
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.6.2
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.7
Multiplique .
Etapa 4.2.1.2.7.1
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.7.2
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.8
Multiplique .
Etapa 4.2.1.2.8.1
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.8.2
Multiplique por .
Etapa 4.2.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 4.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 4.2.3
Simplify each element.
Etapa 4.2.3.1
Subtraia de .
Etapa 4.2.3.2
Some e .
Etapa 4.2.3.3
Some e .
Etapa 4.2.3.4
Some e .
Etapa 4.2.3.5
Some e .
Etapa 4.2.3.6
Some e .
Etapa 4.2.3.7
Some e .
Etapa 4.3
Find the null space when .
Etapa 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Etapa 4.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.1.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.2.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.3.2
Simplifique .
Etapa 4.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 4.3.2.4.2
Simplifique .
Etapa 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Etapa 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Etapa 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Etapa 4.3.6
Write as a solution set.
Etapa 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Etapa 5
Etapa 5.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
Etapa 5.2
Simplifique.
Etapa 5.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 5.2.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 5.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 5.2.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.2
Multiplique .
Etapa 5.2.1.2.2.1
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.2.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.3
Multiplique .
Etapa 5.2.1.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.4
Multiplique .
Etapa 5.2.1.2.4.1
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.6
Multiplique .
Etapa 5.2.1.2.6.1
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.6.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.7
Multiplique .
Etapa 5.2.1.2.7.1
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.7.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.8
Multiplique .
Etapa 5.2.1.2.8.1
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.8.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 5.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 5.2.3
Simplify each element.
Etapa 5.2.3.1
Some e .
Etapa 5.2.3.2
Some e .
Etapa 5.2.3.3
Some e .
Etapa 5.2.3.4
Some e .
Etapa 5.2.3.5
Some e .
Etapa 5.2.3.6
Some e .
Etapa 5.2.3.7
Some e .
Etapa 5.3
Find the null space when .
Etapa 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
Etapa 5.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 5.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 5.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 5.3.2.1.2
Simplifique .
Etapa 5.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 5.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 5.3.2.2.2
Simplifique .
Etapa 5.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 5.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Etapa 5.3.2.3.2
Simplifique .
Etapa 5.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 5.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Etapa 5.3.2.4.2
Simplifique .
Etapa 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Etapa 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Etapa 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Etapa 5.3.6
Write as a solution set.
Etapa 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Etapa 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.