Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $4$ é a matriz quadrada $4 \times 4$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] - λ I_{4})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{4}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.5.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.9.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.9.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.10

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.10.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.10.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.12

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.12.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.12.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.13

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.13.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.13.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.14

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.14.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.14.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.15

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.15.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.15.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.16

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 5 & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $- 3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.4

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Some $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Some $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.7

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 + 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.8

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.9

Some $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.10

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.11

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.12

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Etapa 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(5 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$

Etapa 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$

Etapa 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (5 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$

Etapa 5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (5 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$

Etapa 5.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (5 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$

Etapa 5.4

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (5 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5

Avalie $| \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 5 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$

Etapa 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 2 - λ & 3 \end{array} |$

Etapa 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 2 - λ & 3 \end{array} |$

Etapa 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 2 - λ & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 2 - λ & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ 2 - λ & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 2 - λ & 3 \\ 0 & 5 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) ((2 - λ) (5 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.1

Expanda $(2 - λ) (5 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (2 (5 - λ) - λ (5 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (2 \cdot 5 + 2 (- λ) - λ (5 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (2 \cdot 5 + 2 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.2.1.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 + 2 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.2.1.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 2 λ - 5 λ + λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.2.2

Subtraia $5 λ$ de $- 2 λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 7 λ + λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.1.3

Multiplique $0$ por $3$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 7 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.2

Some $10 - 7 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (10 - 7 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.3

Mova $10$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (- 7 λ + λ^{2} + 10) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.4.2.4

Reordene $- 7 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.1

Combine os termos opostos em $(2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10) + 0 + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.1.1

Some $(2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10)$ e $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10) + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.1.2

Some $(2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10)$ e $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10)) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.2

Expanda $(2 - λ) (λ^{2} - 7 λ + 10)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 7 λ) + 2 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.3.1

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 2 \cdot 10 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.3.2

Multiplique $2$ por $10$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.3.3

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.3.3.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - (λ^{2} λ) - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.3.3.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.3.3.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{2 + 1} - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.3.3.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} - λ (- 7 λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 7 λ \cdot λ - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.3.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.3.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 7 (λ \cdot λ) - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.3.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 7 λ^{2} - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.3.6

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} + 7 λ^{2} - λ \cdot 10) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.3.7

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} + 7 λ^{2} - 10 λ) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.4

Some $2 λ^{2}$ e $7 λ^{2}$ .

$p (λ) = (5 - λ) (9 λ^{2} - 14 λ + 20 - λ^{3} - 10 λ) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.5

Subtraia $10 λ$ de $- 14 λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (9 λ^{2} - 24 λ + 20 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.6

Mova $20$ .

$p (λ) = (5 - λ) (9 λ^{2} - 24 λ - λ^{3} + 20) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.7

Mova $- 24 λ$ .

$p (λ) = (5 - λ) (9 λ^{2} - λ^{3} - 24 λ + 20) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.5.5.8

Reordene $9 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20) + 0 + 0 + 0$

Etapa 5.6

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Combine os termos opostos em $(5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20) + 0 + 0 + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Some $(5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20)$ e $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20) + 0 + 0$

Etapa 5.6.1.2

Some $(5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20)$ e $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20) + 0$

Etapa 5.6.1.3

Some $(5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20)$ e $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20)$

Etapa 5.6.2

Expanda $(5 - λ) (- λ^{3} + 9 λ^{2} - 24 λ + 20)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = 5 (- λ^{3}) + 5 (9 λ^{2}) + 5 (- 24 λ) + 5 \cdot 20 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 5 (9 λ^{2}) + 5 (- 24 λ) + 5 \cdot 20 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.2

Multiplique $9$ por $5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} + 5 (- 24 λ) + 5 \cdot 20 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.3

Multiplique $- 24$ por $5$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 5 \cdot 20 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.4

Multiplique $5$ por $20$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - λ (- λ^{3}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.6

Multiplique $λ$ por $λ^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.6.1

Mova $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.6.2

Multiplique $λ^{3}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.6.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.6.3

Some $3$ e $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + 1 λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.8

Multiplique $λ^{4}$ por $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - λ (9 λ^{2}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ \cdot λ^{2} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.10

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.10.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 1 \cdot 9 (λ^{2} λ) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.10.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.10.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 1 \cdot 9 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ^{2 + 1} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.10.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 1 \cdot 9 λ^{3} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.11

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} - λ (- 24 λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 λ \cdot λ - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.13

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.13.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 (λ \cdot λ) - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.13.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} - 1 \cdot - 24 λ^{2} - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.14

Multiplique $- 1$ por $- 24$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} + 24 λ^{2} - λ \cdot 20$

Etapa 5.6.3.15

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 5 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 9 λ^{3} + 24 λ^{2} - 20 λ$

Etapa 5.6.4

Subtraia $9 λ^{3}$ de $- 5 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 45 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} + 24 λ^{2} - 20 λ$

Etapa 5.6.5

Some $45 λ^{2}$ e $24 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 120 λ + 100 + λ^{4} - 20 λ$

Etapa 5.6.6

Subtraia $20 λ$ de $- 120 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100 + λ^{4}$

Etapa 5.6.7

Mova $100$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + λ^{4} + 100$

Etapa 5.6.8

Mova $- 140 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} + λ^{4} - 140 λ + 100$

Etapa 5.6.9

Mova $69 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{3} + λ^{4} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100$

Etapa 5.6.10

Reordene $- 14 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 100, \pm 2, \pm 50, \pm 4, \pm 25, \pm 5, \pm 20, \pm 10$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 100, \pm 2, \pm 50, \pm 4, \pm 25, \pm 5, \pm 20, \pm 10$

Etapa 7.1.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{4} - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 140 \cdot 2 + 100$

Etapa 7.1.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 14 \cdot 2^{3} + 69 \cdot 2^{2} - 140 \cdot 2 + 100$

Etapa 7.1.1.3.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$16 - 14 \cdot 8 + 69 \cdot 2^{2} - 140 \cdot 2 + 100$

Etapa 7.1.1.3.4

Multiplique $- 14$ por $8$ .

$16 - 112 + 69 \cdot 2^{2} - 140 \cdot 2 + 100$

Etapa 7.1.1.3.5

Subtraia $112$ de $16$ .

$- 96 + 69 \cdot 2^{2} - 140 \cdot 2 + 100$

Etapa 7.1.1.3.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 96 + 69 \cdot 4 - 140 \cdot 2 + 100$

Etapa 7.1.1.3.7

Multiplique $69$ por $4$ .

$- 96 + 276 - 140 \cdot 2 + 100$

Etapa 7.1.1.3.8

Some $- 96$ e $276$ .

$180 - 140 \cdot 2 + 100$

Etapa 7.1.1.3.9

Multiplique $- 140$ por $2$ .

$180 - 280 + 100$

Etapa 7.1.1.3.10

Subtraia $280$ de $180$ .

$- 100 + 100$

Etapa 7.1.1.3.11

Some $- 100$ e $100$ .

$0$

Etapa 7.1.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $λ - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100}{λ - 2}$

Etapa 7.1.1.5

Divida $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100$ por $λ - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

Etapa 7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $λ^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

Etapa 7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Etapa 7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $λ^{4} - 2 λ^{3}$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Etapa 7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

Etapa 7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

Etapa 7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 12 λ^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

Etapa 7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

Etapa 7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 12 λ^{3} + 24 λ^{2}$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

Etapa 7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

Etapa 7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

Etapa 7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $45 λ^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

Etapa 7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

Etapa 7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $45 λ^{2} - 90 λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

Etapa 7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

Etapa 7.1.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

$100$

Etapa 7.1.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 50 λ$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$50$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

$100$

Etapa 7.1.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$50$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

$100$

$50 λ$

$100$

Etapa 7.1.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 50 λ + 100$ .

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$50$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

$100$

$50 λ$

$100$

Etapa 7.1.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$50$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$14 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$140 λ$

$100$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$12 λ^{3}$

$69 λ^{2}$

$12 λ^{3}$

$24 λ^{2}$

$45 λ^{2}$

$140 λ$

$45 λ^{2}$

$90 λ$

$50 λ$

$100$

$50 λ$

$100$

$0$

Etapa 7.1.1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50$

Etapa 7.1.1.6

Escreva $λ^{4} - 14 λ^{3} + 69 λ^{2} - 140 λ + 100$ como um conjunto de fatores.

$(λ - 2) (λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 50, \pm 2, \pm 25, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 50, \pm 2, \pm 25, \pm 5, \pm 10$

Etapa 7.1.2.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} - 12 \cdot 2^{2} + 45 \cdot 2 - 50$

Etapa 7.1.2.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 12 \cdot 2^{2} + 45 \cdot 2 - 50$

Etapa 7.1.2.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 12 \cdot 4 + 45 \cdot 2 - 50$

Etapa 7.1.2.3.4

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$8 - 48 + 45 \cdot 2 - 50$

Etapa 7.1.2.3.5

Subtraia $48$ de $8$ .

$- 40 + 45 \cdot 2 - 50$

Etapa 7.1.2.3.6

Multiplique $45$ por $2$ .

$- 40 + 90 - 50$

Etapa 7.1.2.3.7

Some $- 40$ e $90$ .

$50 - 50$

Etapa 7.1.2.3.8

Subtraia $50$ de $50$ .

$0$

Etapa 7.1.2.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $λ - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50}{λ - 2}$

Etapa 7.1.2.5

Divida $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50$ por $λ - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$12 λ^{2}$

$45 λ$

$50$

Etapa 7.1.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $λ^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$

Etapa 7.1.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Etapa 7.1.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $λ^{3} - 2 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Etapa 7.1.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$

Etapa 7.1.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$

Etapa 7.1.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 10 λ^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$

Etapa 7.1.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					-	$10 λ^{2}$	+	$20 λ$

Etapa 7.1.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 10 λ^{2} + 20 λ$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$

Etapa 7.1.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$

Etapa 7.1.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$	-	$50$

Etapa 7.1.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $25 λ$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$25$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$	-	$50$

Etapa 7.1.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$25$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$	-	$50$
							+	$25 λ$	-	$50$

Etapa 7.1.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $25 λ - 50$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$25$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$	-	$50$
							-	$25 λ$	+	$50$

Etapa 7.1.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$25$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$12 λ^{2}$	+	$45 λ$	-	$50$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$45 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$20 λ$
							+	$25 λ$	-	$50$
							-	$25 λ$	+	$50$
										$0$

Etapa 7.1.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$λ^{2} - 10 λ + 25$

Etapa 7.1.2.6

Escreva $λ^{3} - 12 λ^{2} + 45 λ - 50$ como um conjunto de fatores.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 10 λ + 25)) = 0$

Etapa 7.1.3

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.3.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 10 λ + 5^{2})) = 0$

Etapa 7.1.3.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

Etapa 7.1.3.1.3

Reescreva o polinômio.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2})) = 0$

Etapa 7.1.3.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = λ$ e $b = 5$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) {(λ - 5)}^{2}) = 0$

Etapa 7.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ - 5)}^{2} = 0$

Etapa 7.1.4

Combine como fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Eleve $λ - 2$ à potência de $1$ .

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ - 5)}^{2} = 0$

Etapa 7.1.4.2

Eleve $λ - 2$ à potência de $1$ .

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ - 5)}^{2} = 0$

Etapa 7.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(λ - 2)}^{1 + 1} {(λ - 5)}^{2} = 0$

Etapa 7.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

${(λ - 2)}^{2} {(λ - 5)}^{2} = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(λ - 2)}^{2} = 0$

${(λ - 5)}^{2} = 0$

Etapa 7.3

Defina ${(λ - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

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Etapa 7.3.1

Defina ${(λ - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(λ - 2)}^{2} = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva ${(λ - 2)}^{2} = 0$ para $λ$ .

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Etapa 7.3.2.1

Defina $λ - 2$ como igual a $0$ .

$λ - 2 = 0$

Etapa 7.3.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$λ = 2$

Etapa 7.4

Defina ${(λ - 5)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Defina ${(λ - 5)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(λ - 5)}^{2} = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva ${(λ - 5)}^{2} = 0$ para $λ$ .

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Etapa 7.4.2.1

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

Etapa 7.4.2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$λ = 5$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(λ - 2)}^{2} {(λ - 5)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$λ = 2, 5$