Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $3$ é a matriz quadrada $3 \times 3$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] - λ I_{3})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} x & y & z \\ 2 x & y & z \\ x & y & z \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & y + 0 & z + 0 \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $y$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & y & z + 0 \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $z$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x + 0 & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Some $2 x$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z + 0 \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.4

Some $z$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x + 0 & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Some $x$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x & y + 0 & z - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Some $y$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} x - λ & y & z \\ 2 x & y - λ & z \\ x & y & z - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(x - λ) | \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (x - λ) | \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} | - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2

Avalie $| \begin{array}{c} y - λ & z \\ y & z - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) ((y - λ) (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Expanda $(y - λ) (z - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (x - λ) (y (z - λ) - λ (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (x - λ) (y z + y (- λ) - λ (z - λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (x - λ) (y z + y (- λ) - λ z - λ (- λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - λ (- λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2.1.2.3

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.2.3.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2.1.2.3.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z - 1 \cdot - 1 λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z + 1 λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2.1.2.5

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (y z - y λ - λ z + λ^{2} - y z) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2.2

Combine os termos opostos em $y z - y λ - λ z + λ^{2} - y z$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Subtraia $y z$ de $y z$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - λ z + λ^{2} + 0) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2.2.2

Some $- y λ - λ z + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - λ z + λ^{2}) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.2.2.3

Mova $λ$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y | \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} | + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.3

Avalie $| \begin{array}{c} 2 x & z \\ x & z - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x (z - λ) - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z + 2 x (- λ) - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z + 2 \cdot - 1 x λ - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.3.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (2 x z - 2 x λ - x z) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.3.2.2

Subtraia $x z$ de $2 x z$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (1 x z - 2 x λ) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z | \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$

Etapa 5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 2 x & y - λ \\ x & y \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x (y - λ))$

Etapa 5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y - x (- λ))$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y - 1 \cdot - 1 x λ)$

Etapa 5.4.2.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y + 1 x λ)$

Etapa 5.4.2.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (2 x y - x y + x λ)$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia $x y$ de $2 x y$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (1 x y + x λ)$

Etapa 5.4.2.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - 1 z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Reescreva $- 1 z$ como $- z$ .

$p (λ) = (x - λ) (- y λ - z λ + λ^{2}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.2

Expanda $(x - λ) (- y λ - z λ + λ^{2})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = x (- y λ) + x (- z λ) + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - x y λ + x (- z λ) + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - λ (- y λ) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.3

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.3.3.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - (λ \cdot λ) (- y) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.3.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - λ^{2} (- y) - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + 1 λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.6

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - λ (- z λ) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.7

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.3.7.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - (λ \cdot λ) (- z) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.7.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - λ^{2} (- z) - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y - 1 \cdot - 1 λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + 1 λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.10

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ \cdot λ^{2} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.11

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.1.3.11.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - (λ^{2} λ) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.11.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

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Etapa 5.5.1.3.11.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - (λ^{2} λ^{1}) - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{2 + 1} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.3.11.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y (x z - 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y (x z) - y (- 2 x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y (x λ) + z (x y + x λ)$

Etapa 5.5.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y x λ + z x y + z x λ$

Etapa 5.5.2

Combine os termos opostos em $- x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - y x z + 2 y x λ + z x y + z x λ$ .

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Etapa 5.5.2.1

Reorganize os fatores nos termos $- y x z$ e $z x y$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - x y z + 2 y x λ + x y z + z x λ$

Etapa 5.5.2.2

Some $- x y z$ e $x y z$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + 0 + z x λ$

Etapa 5.5.2.3

Some $- x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$ e $0$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + z x λ$

Etapa 5.5.2.4

Reorganize os fatores nos termos $- x z λ$ e $z x λ$ .

$p (λ) = - x y λ - x z λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + x z λ$

Etapa 5.5.2.5

Some $- x z λ$ e $x z λ$ .

$p (λ) = - x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ + 0$

Etapa 5.5.2.6

Some $- x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$ e $0$ .

$p (λ) = - x y λ + x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 2 y x λ$

Etapa 5.5.3

Some $- x y λ$ e $2 y x λ$ .

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Etapa 5.5.3.1

Mova $y$ .

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} - x y λ + 2 x y λ$

Etapa 5.5.3.2

Some $- x y λ$ e $2 x y λ$ .

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + 1 x y λ$

Etapa 5.5.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$p (λ) = x λ^{2} + λ^{2} y + λ^{2} z - λ^{3} + x y λ$

Etapa 5.5.5

Reordene $λ^{2}$ e $y$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + λ^{2} z - λ^{3} + x y λ$

Etapa 5.5.6

Reordene $λ^{2}$ e $z$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} + x y λ$

Etapa 5.5.7

Mova $- λ^{3}$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} + x y λ - λ^{3}$

Etapa 5.5.8

Mova $z λ^{2}$ .

$p (λ) = x λ^{2} + y λ^{2} + x y λ + z λ^{2} - λ^{3}$

Etapa 5.5.9

Mova $y λ^{2}$ .

$p (λ) = x λ^{2} + x y λ + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$

Etapa 5.5.10

Reordene $x λ^{2}$ e $x y λ$ .

$p (λ) = x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

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Etapa 7.1

Fatore $λ$ de $x y λ + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3}$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $λ$ de $x y λ$ .

$λ (x y) + x λ^{2} + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $λ$ de $x λ^{2}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + y λ^{2} + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

Etapa 7.1.3

Fatore $λ$ de $y λ^{2}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + z λ^{2} - λ^{3} = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore $λ$ de $z λ^{2}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) - λ^{3} = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore $λ$ de $- λ^{3}$ .

$λ (x y) + λ (x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

Etapa 7.1.6

Fatore $λ$ de $λ (x y) + λ (x λ)$ .

$λ (x y + x λ) + λ (y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

Etapa 7.1.7

Fatore $λ$ de $λ (x y + x λ) + λ (y λ)$ .

$λ (x y + x λ + y λ) + λ (z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

Etapa 7.1.8

Fatore $λ$ de $λ (x y + x λ + y λ) + λ (z λ)$ .

$λ (x y + x λ + y λ + z λ) + λ (- λ^{2}) = 0$

Etapa 7.1.9

Fatore $λ$ de $λ (x y + x λ + y λ + z λ) + λ (- λ^{2})$ .

$λ (x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ = 0$

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$

Etapa 7.3

Defina $λ$ como igual a $0$ .

$λ = 0$

Etapa 7.4

Defina $x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

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Etapa 7.4.1

Defina $x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}$ como igual a $0$ .

$x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$

Etapa 7.4.2

Resolva $x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2} = 0$ para $λ$ .

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Etapa 7.4.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.4.2.2

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = x + y + z$ e $c = x y$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{- (x + y + z) \pm \sqrt{{(x + y + z)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (x y))}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.4.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{{(x + y + z)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.2

Reescreva ${(x + y + z)}^{2}$ como $(x + y + z) (x + y + z)$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{(x + y + z) (x + y + z) - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.3

Expanda $(x + y + z) (x + y + z)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x \cdot x + x y + x z + y x + y \cdot y + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.2.3.1.4.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y \cdot y + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y^{2} + y z + z x + z y + z \cdot z - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.4.3

Multiplique $z$ por $z$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x z + y x + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.5

Some $x y$ e $y x$ .

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Etapa 7.4.2.3.1.5.1

Reordene $y$ e $x$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + x y + x y + x z + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.5.2

Some $x y$ e $x y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + x z + y^{2} + y z + z x + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.6

Some $x z$ e $z x$ .

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Etapa 7.4.2.3.1.6.1

Reordene $z$ e $x$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + x z + x z + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.6.2

Some $x z$ e $x z$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + 2 x z + z y + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.7

Some $y z$ e $z y$ .

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Etapa 7.4.2.3.1.7.1

Reordene $z$ e $y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + y z + y z + 2 x z + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.7.2

Some $y z$ e $y z$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.8

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 4 \cdot (x y)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.1.9

Some $2 x y$ e $4 x y$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.4.2.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$λ = \frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{- 2}$

Etapa 7.4.2.3.3

Simplifique $\frac{- x - y - z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{- 2}$ .

$λ = \frac{x + y + z \pm \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

Etapa 7.4.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

Etapa 7.5

A solução final são todos os valores que tornam $λ (x y + x λ + y λ + z λ - λ^{2}) = 0$ verdadeiro.

$λ = 0$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = 0$

$λ = \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$

$λ = \frac{x + y + z - \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y z + 2 x z + z^{2} + 6 x y}}{2}$