Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $2$ é a matriz quadrada $2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 8 & - 3 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

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Etapa 4.3.1

Some $- 3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & - 3 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

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Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Expanda $(8 - λ) (2 - λ)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.2.1.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.2.2

Subtraia $2 λ$ de $- 8 λ$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - 3 \cdot - 3$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 9$

Etapa 5.2.2

Some $16$ e $9$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 25$

Etapa 5.2.3

Reordene $- 10 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 25$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{2} - 10 λ + 25 = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

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Etapa 7.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 7.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$λ^{2} - 10 λ + 5^{2} = 0$

Etapa 7.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

Etapa 7.1.3

Reescreva o polinômio.

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = λ$ e $b = 5$ .

${(λ - 5)}^{2} = 0$

Etapa 7.2

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

Etapa 7.3

Some $5$ aos dois lados da equação.

$λ = 5$