Álgebra linear Exemplos

[\begin{matrix} 1 & 3 2 & - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho

$2$ é a matriz quadrada

$2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ por

$A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 3.2

Substitua

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

$I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Multiplique

$- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some

$3$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some

$2$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Expanda

$(1 - λ) (- 1 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2.1.2

Multiplique

$- λ$ por

$1$ .

$p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2.1.3

Multiplique

$- λ \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.3.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2.1.3.2

Multiplique

$λ$ por

$1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2.1.5

Multiplique

$λ$ por

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1.5.1

Mova

$λ$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2.1.5.2

Multiplique

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2.1.6

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2.1.7

Multiplique

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2.2

Some

$- λ$ e

$λ$ .

$p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.2.3

Some

$- 1$ e

$0$ .

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 3$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique

$- 2$ por

$3$ .

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 6$

Etapa 5.2.2

Subtraia

$6$ de

$- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a

$0$ para encontrar os autovalores

$λ$ .

$λ^{2} - 7 = 0$

Etapa 7

Resolva

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Some

$7$ aos dois lados da equação.

$λ^{2} = 7$

Etapa 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{7}$

Etapa 7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Primeiro, use o valor positivo de

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

$λ = \sqrt{7}$

Etapa 7.3.2

Depois, use o valor negativo de

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

$λ = - \sqrt{7}$

Etapa 7.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$λ = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Forma decimal:

$λ = 2.64575131 \dots, - 2.64575131 \dots$