Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $3$ é a matriz quadrada $3 \times 3$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Etapa 1.3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.6

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.3

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.4

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.5

Some $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.6

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 2 \\ 0 & 5 - λ & 0 \\ 3 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + (5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 3 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 1.5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) ((1 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Expanda $(1 - λ) (2 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.2

Multiplique $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.2

Subtraia $2 λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 6) + 0$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $6$ de $2$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - 4) + 0$

Etapa 1.5.4.2.3

Reordene $- 3 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$

Etapa 1.5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Combine os termos opostos em $0 + (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1.1

Some $0$ e $(5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$

Etapa 1.5.5.1.2

Some $(5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ e $0$ .

$p (λ) = (5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

Etapa 1.5.5.2

Expanda $(5 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = 5 λ^{2} + 5 (- 3 λ) + 5 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Etapa 1.5.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ + 5 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Etapa 1.5.5.3.2

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Etapa 1.5.5.3.3

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.3.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Etapa 1.5.5.3.3.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.3.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Etapa 1.5.5.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Etapa 1.5.5.3.3.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

Etapa 1.5.5.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot - 4$

Etapa 1.5.5.3.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 4$

Etapa 1.5.5.3.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

Etapa 1.5.5.3.6

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

Etapa 1.5.5.3.7

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} + 3 λ^{2} + 4 λ$

Etapa 1.5.5.4

Some $5 λ^{2}$ e $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 15 λ - 20 - λ^{3} + 4 λ$

Etapa 1.5.5.5

Some $- 15 λ$ e $4 λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 11 λ - 20 - λ^{3}$

Etapa 1.5.5.6

Mova $- 20$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - 11 λ - λ^{3} - 20$

Etapa 1.5.5.7

Mova $- 11 λ$ .

$p (λ) = 8 λ^{2} - λ^{3} - 11 λ - 20$

Etapa 1.5.5.8

Reordene $8 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20 = 0$

Etapa 1.7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Fatore $- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Etapa 1.7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Etapa 1.7.1.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

$- {(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 20$

Etapa 1.7.1.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- - 1 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 20$

Etapa 1.7.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 8 {(- 1)}^{2} - 11 \cdot - 1 - 20$

Etapa 1.7.1.1.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 8 \cdot 1 - 11 \cdot - 1 - 20$

Etapa 1.7.1.1.3.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$1 + 8 - 11 \cdot - 1 - 20$

Etapa 1.7.1.1.3.6

Some $1$ e $8$ .

$9 - 11 \cdot - 1 - 20$

Etapa 1.7.1.1.3.7

Multiplique $- 11$ por $- 1$ .

$9 + 11 - 20$

Etapa 1.7.1.1.3.8

Some $9$ e $11$ .

$20 - 20$

Etapa 1.7.1.1.3.9

Subtraia $20$ de $20$ .

$0$

Etapa 1.7.1.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $λ + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20}{λ + 1}$

Etapa 1.7.1.1.5

Divida $- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$ por $λ + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$8 λ^{2}$

$11 λ$

$20$

Etapa 1.7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- λ^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$

Etapa 1.7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Etapa 1.7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- λ^{3} - λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Etapa 1.7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 λ^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					+	$9 λ^{2}$	+	$9 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 λ^{2} + 9 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$

Etapa 1.7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 20 λ$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$

Etapa 1.7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$
							-	$20 λ$	-	$20$

Etapa 1.7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 20 λ - 20$ .

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$
							+	$20 λ$	+	$20$

Etapa 1.7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$9 λ$	-	$20$
$λ$	+	$1$	-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$	-	$11 λ$	-	$20$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$
					+	$9 λ^{2}$	-	$11 λ$
					-	$9 λ^{2}$	-	$9 λ$
							-	$20 λ$	-	$20$
							+	$20 λ$	+	$20$
										$0$

Etapa 1.7.1.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- λ^{2} + 9 λ - 20$

Etapa 1.7.1.1.6

Escreva $- λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 20$ como um conjunto de fatores.

$(λ + 1) (- λ^{2} + 9 λ - 20) = 0$

Etapa 1.7.1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 20 = 20$ e cuja soma é $b = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.1.1.1

Fatore $9$ de $9 λ$ .

$(λ + 1) (- λ^{2} + 9 (λ) - 20) = 0$

Etapa 1.7.1.2.1.1.2

Reescreva $9$ como $4$ mais $5$

$(λ + 1) (- λ^{2} + (4 + 5) λ - 20) = 0$

Etapa 1.7.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(λ + 1) (- λ^{2} + 4 λ + 5 λ - 20) = 0$

Etapa 1.7.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(λ + 1) ((- λ^{2} + 4 λ) + 5 λ - 20) = 0$

Etapa 1.7.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(λ + 1) (λ (- λ + 4) - 5 (- λ + 4)) = 0$

Etapa 1.7.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- λ + 4$ .

$(λ + 1) ((- λ + 4) (λ - 5)) = 0$

Etapa 1.7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(λ + 1) (- λ + 4) (λ - 5) = 0$

Etapa 1.7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ + 1 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 5 = 0$

Etapa 1.7.3

Defina $λ + 1$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Defina $λ + 1$ como igual a $0$ .

$λ + 1 = 0$

Etapa 1.7.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$λ = - 1$

Etapa 1.7.4

Defina $- λ + 4$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Defina $- λ + 4$ como igual a $0$ .

$- λ + 4 = 0$

Etapa 1.7.4.2

Resolva $- λ + 4 = 0$ para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- λ = - 4$

Etapa 1.7.4.2.2

Divida cada termo em $- λ = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.2.1

Divida cada termo em $- λ = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.7.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.7.4.2.2.2.2

Divida $λ$ por $1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 1.7.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$λ = 4$

Etapa 1.7.5

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.5.1

Defina $λ - 5$ como igual a $0$ .

$λ - 5 = 0$

Etapa 1.7.5.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$λ = 5$

Etapa 1.7.6

A solução final são todos os valores que tornam $(λ + 1) (- λ + 4) (λ - 5) = 0$ verdadeiro.

$λ = - 1, 4, 5$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 1 + 1 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Some $1$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.3

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.4

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 5 + 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.5

Some $5$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.6

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.7

Some $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.8

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 & 0 & 2 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.9

Some $2$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 6 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 0 \\ z \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- 4$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.6

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.7

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.8

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.9

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 1 - 4 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Subtraia $4$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.5

Subtraia $4$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.6

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.7

Some $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.8

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 - 4 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.9

Subtraia $4$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when $λ = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & - 2 - 3 (- \frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{2}{3} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 z}{3} \\ 0 \\ z \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 5$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.2

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.3

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.5

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.6

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.7

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.8

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.9

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & - 5 \end{array}]$

Etapa 5.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 1 - 5 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 5.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Subtraia $5$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.2

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.3

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 + 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.4

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 5 - 5 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.5

Subtraia $5$ de $5$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.6

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 + 0 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.7

Some $3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 + 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.8

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 2 - 5 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.9

Subtraia $5$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 \end{array}]$

Etapa 5.3

Find the null space when $λ = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 0 & - \frac{1}{4} \cdot 2 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & - 3 - 3 (- \frac{1}{2}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{2} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} (- \frac{3}{2}) & - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.5.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Etapa 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Etapa 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$