Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $4$ é a matriz quadrada $4 \times 4$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Etapa 1.3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{4}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.5

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.5.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.5.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.9

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.9.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.9.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.10

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.10.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.10.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.12

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.12.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.12.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.13

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.13.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.13.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.14

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.14.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.14.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.15

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.15.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.15.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.16

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some $- 3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.3

Some $12$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 + 0 & 4 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.4

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.5

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.6

Some $- 2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.7

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.8

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.9

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.10

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.11

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.12

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 6 - λ & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(6 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.4

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} - 3 & 0 & 12 \\ 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5

Avalie $| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$

Etapa 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) ((3 - λ) (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.4.2.1.1

Expanda $(3 - λ) (3 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (3 (3 - λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ (3 - λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.4.2.1.2.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.2.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.4.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 3 λ - 3 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.2.2

Subtraia $3 λ$ de $- 3 λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2} + 0 \cdot 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.1.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.2

Some $9 - 6 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (9 - 6 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.3

Mova $9$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (- 6 λ + λ^{2} + 9) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.4.2.4

Reordene $- 6 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.5.1

Combine os termos opostos em $(4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0 + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.5.1.1

Some $(4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9)$ e $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9) + 0) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.1.2

Some $(4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9)$ e $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) ((4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9)) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.2

Expanda $(4 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 9)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} + 4 (- 6 λ) + 4 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.5.3.1

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 4 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.3.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.3.3

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.5.3.3.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.3.3.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.5.3.3.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.3.3.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.3.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.5.3.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.3.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.3.6

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} + 6 λ^{2} - λ \cdot 9) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.3.7

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$p (λ) = (6 - λ) (4 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.4

Some $4 λ^{2}$ e $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = (6 - λ) (10 λ^{2} - 24 λ + 36 - λ^{3} - 9 λ) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.5

Subtraia $9 λ$ de $- 24 λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (10 λ^{2} - 33 λ + 36 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.6

Mova $36$ .

$p (λ) = (6 - λ) (10 λ^{2} - 33 λ - λ^{3} + 36) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.7

Mova $- 33 λ$ .

$p (λ) = (6 - λ) (10 λ^{2} - λ^{3} - 33 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.5.5.8

Reordene $10 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36) + 0 + 0 + 0$

Etapa 1.5.6

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1

Combine os termos opostos em $(6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36) + 0 + 0 + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1.1

Some $(6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36)$ e $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36) + 0 + 0$

Etapa 1.5.6.1.2

Some $(6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36)$ e $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36) + 0$

Etapa 1.5.6.1.3

Some $(6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36)$ e $0$ .

$p (λ) = (6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36)$

Etapa 1.5.6.2

Expanda $(6 - λ) (- λ^{3} + 10 λ^{2} - 33 λ + 36)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = 6 (- λ^{3}) + 6 (10 λ^{2}) + 6 (- 33 λ) + 6 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 6 (10 λ^{2}) + 6 (- 33 λ) + 6 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.2

Multiplique $10$ por $6$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} + 6 (- 33 λ) + 6 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.3

Multiplique $- 33$ por $6$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 6 \cdot 36 - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.4

Multiplique $6$ por $36$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - λ (- λ^{3}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.6

Multiplique $λ$ por $λ^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.6.1

Mova $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.6.2

Multiplique $λ^{3}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.6.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.6.3

Some $3$ e $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + 1 λ^{4} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.8

Multiplique $λ^{4}$ por $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - λ (10 λ^{2}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 1 \cdot 10 λ \cdot λ^{2} - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.10

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.10.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 1 \cdot 10 (λ^{2} λ) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.10.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.10.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 1 \cdot 10 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 1 \cdot 10 λ^{2 + 1} - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.10.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 1 \cdot 10 λ^{3} - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.11

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} - λ (- 33 λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.12

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} - 1 \cdot - 33 λ \cdot λ - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.13

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.3.13.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} - 1 \cdot - 33 (λ \cdot λ) - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.13.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} - 1 \cdot - 33 λ^{2} - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.14

Multiplique $- 1$ por $- 33$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} + 33 λ^{2} - λ \cdot 36$

Etapa 1.5.6.3.15

Multiplique $36$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 10 λ^{3} + 33 λ^{2} - 36 λ$

Etapa 1.5.6.4

Subtraia $10 λ^{3}$ de $- 6 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 60 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} + 33 λ^{2} - 36 λ$

Etapa 1.5.6.5

Some $60 λ^{2}$ e $33 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 198 λ + 216 + λ^{4} - 36 λ$

Etapa 1.5.6.6

Subtraia $36 λ$ de $- 198 λ$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216 + λ^{4}$

Etapa 1.5.6.7

Mova $216$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + λ^{4} + 216$

Etapa 1.5.6.8

Mova $- 234 λ$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} + λ^{4} - 234 λ + 216$

Etapa 1.5.6.9

Mova $93 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 16 λ^{3} + λ^{4} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216$

Etapa 1.5.6.10

Reordene $- 16 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216 = 0$

Etapa 1.7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Fatore $λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 216, \pm 2, \pm 108, \pm 3, \pm 72, \pm 4, \pm 54, \pm 6, \pm 36, \pm 8, \pm 27, \pm 9, \pm 24, \pm 12, \pm 18$

$q = \pm 1$

Etapa 1.7.1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 216, \pm 2, \pm 108, \pm 3, \pm 72, \pm 4, \pm 54, \pm 6, \pm 36, \pm 8, \pm 27, \pm 9, \pm 24, \pm 12, \pm 18$

Etapa 1.7.1.1.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$3^{4} - 16 \cdot 3^{3} + 93 \cdot 3^{2} - 234 \cdot 3 + 216$

Etapa 1.7.1.1.3.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$81 - 16 \cdot 3^{3} + 93 \cdot 3^{2} - 234 \cdot 3 + 216$

Etapa 1.7.1.1.3.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$81 - 16 \cdot 27 + 93 \cdot 3^{2} - 234 \cdot 3 + 216$

Etapa 1.7.1.1.3.4

Multiplique $- 16$ por $27$ .

$81 - 432 + 93 \cdot 3^{2} - 234 \cdot 3 + 216$

Etapa 1.7.1.1.3.5

Subtraia $432$ de $81$ .

$- 351 + 93 \cdot 3^{2} - 234 \cdot 3 + 216$

Etapa 1.7.1.1.3.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- 351 + 93 \cdot 9 - 234 \cdot 3 + 216$

Etapa 1.7.1.1.3.7

Multiplique $93$ por $9$ .

$- 351 + 837 - 234 \cdot 3 + 216$

Etapa 1.7.1.1.3.8

Some $- 351$ e $837$ .

$486 - 234 \cdot 3 + 216$

Etapa 1.7.1.1.3.9

Multiplique $- 234$ por $3$ .

$486 - 702 + 216$

Etapa 1.7.1.1.3.10

Subtraia $702$ de $486$ .

$- 216 + 216$

Etapa 1.7.1.1.3.11

Some $- 216$ e $216$ .

$0$

Etapa 1.7.1.1.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $λ - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216}{λ - 3}$

Etapa 1.7.1.1.5

Divida $λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216$ por $λ - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

Etapa 1.7.1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $λ^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

Etapa 1.7.1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

Etapa 1.7.1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $λ^{4} - 3 λ^{3}$ .

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

Etapa 1.7.1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

Etapa 1.7.1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$λ^{3}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 13 λ^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 13 λ^{3} + 39 λ^{2}$ .

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $54 λ^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $54 λ^{2} - 162 λ$ .

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

Etapa 1.7.1.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

$216$

Etapa 1.7.1.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 72 λ$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$72$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

$216$

Etapa 1.7.1.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$72$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

$216$

$72 λ$

$216$

Etapa 1.7.1.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 72 λ + 216$ .

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$72$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

$216$

$72 λ$

$216$

Etapa 1.7.1.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$72$

$λ$

$3$

$λ^{4}$

$16 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$234 λ$

$216$

$λ^{4}$

$3 λ^{3}$

$13 λ^{3}$

$93 λ^{2}$

$13 λ^{3}$

$39 λ^{2}$

$54 λ^{2}$

$234 λ$

$54 λ^{2}$

$162 λ$

$72 λ$

$216$

$72 λ$

$216$

$0$

Etapa 1.7.1.1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72$

Etapa 1.7.1.1.6

Escreva $λ^{4} - 16 λ^{3} + 93 λ^{2} - 234 λ + 216$ como um conjunto de fatores.

$(λ - 3) (λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72) = 0$

Etapa 1.7.1.2

Fatore $λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

$q = \pm 1$

Etapa 1.7.1.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 72, \pm 2, \pm 36, \pm 3, \pm 24, \pm 4, \pm 18, \pm 6, \pm 12, \pm 8, \pm 9$

Etapa 1.7.1.2.3

Substitua $3$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $3$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.3.1

Substitua $3$ no polinômio.

$3^{3} - 13 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 72$

Etapa 1.7.1.2.3.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - 13 \cdot 3^{2} + 54 \cdot 3 - 72$

Etapa 1.7.1.2.3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 - 13 \cdot 9 + 54 \cdot 3 - 72$

Etapa 1.7.1.2.3.4

Multiplique $- 13$ por $9$ .

$27 - 117 + 54 \cdot 3 - 72$

Etapa 1.7.1.2.3.5

Subtraia $117$ de $27$ .

$- 90 + 54 \cdot 3 - 72$

Etapa 1.7.1.2.3.6

Multiplique $54$ por $3$ .

$- 90 + 162 - 72$

Etapa 1.7.1.2.3.7

Some $- 90$ e $162$ .

$72 - 72$

Etapa 1.7.1.2.3.8

Subtraia $72$ de $72$ .

$0$

Etapa 1.7.1.2.4

Como $3$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $λ - 3$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72}{λ - 3}$

Etapa 1.7.1.2.5

Divida $λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72$ por $λ - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$13 λ^{2}$

$54 λ$

$72$

Etapa 1.7.1.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $λ^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$

Etapa 1.7.1.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $λ^{3} - 3 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$

Etapa 1.7.1.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$

Etapa 1.7.1.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 10 λ^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$

Etapa 1.7.1.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					-	$10 λ^{2}$	+	$30 λ$

Etapa 1.7.1.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 10 λ^{2} + 30 λ$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$

Etapa 1.7.1.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$

Etapa 1.7.1.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$	-	$72$

Etapa 1.7.1.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $24 λ$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$24$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$	-	$72$

Etapa 1.7.1.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$24$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$	-	$72$
							+	$24 λ$	-	$72$

Etapa 1.7.1.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $24 λ - 72$ .

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$24$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$	-	$72$
							-	$24 λ$	+	$72$

Etapa 1.7.1.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$10 λ$	+	$24$
$λ$	-	$3$		$λ^{3}$	-	$13 λ^{2}$	+	$54 λ$	-	$72$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$10 λ^{2}$	+	$54 λ$
					+	$10 λ^{2}$	-	$30 λ$
							+	$24 λ$	-	$72$
							-	$24 λ$	+	$72$
										$0$

Etapa 1.7.1.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$λ^{2} - 10 λ + 24$

Etapa 1.7.1.2.6

Escreva $λ^{3} - 13 λ^{2} + 54 λ - 72$ como um conjunto de fatores.

$(λ - 3) ((λ - 3) (λ^{2} - 10 λ + 24)) = 0$

Etapa 1.7.1.3

Fatore $λ^{2} - 10 λ + 24$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.3.1

Fatore $λ^{2} - 10 λ + 24$ usando o método AC.

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Etapa 1.7.1.3.1.1

Fatore $λ^{2} - 10 λ + 24$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.3.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $24$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 6, - 4$

Etapa 1.7.1.3.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(λ - 3) ((λ - 3) ((λ - 6) (λ - 4))) = 0$

Etapa 1.7.1.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(λ - 3) ((λ - 3) (λ - 6) (λ - 4)) = 0$

Etapa 1.7.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(λ - 3) (λ - 3) (λ - 6) (λ - 4) = 0$

Etapa 1.7.1.4

Combine como fatores.

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Etapa 1.7.1.4.1

Eleve $λ - 3$ à potência de $1$ .

$(λ - 3) (λ - 3) (λ - 6) (λ - 4) = 0$

Etapa 1.7.1.4.2

Eleve $λ - 3$ à potência de $1$ .

$(λ - 3) (λ - 3) (λ - 6) (λ - 4) = 0$

Etapa 1.7.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(λ - 3)}^{1 + 1} (λ - 6) (λ - 4) = 0$

Etapa 1.7.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

${(λ - 3)}^{2} (λ - 6) (λ - 4) = 0$

Etapa 1.7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

$λ - 6 = 0$

$λ - 4 = 0$

Etapa 1.7.3

Defina ${(λ - 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

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Etapa 1.7.3.1

Defina ${(λ - 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(λ - 3)}^{2} = 0$

Etapa 1.7.3.2

Resolva ${(λ - 3)}^{2} = 0$ para $λ$ .

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Etapa 1.7.3.2.1

Defina $λ - 3$ como igual a $0$ .

$λ - 3 = 0$

Etapa 1.7.3.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$λ = 3$

Etapa 1.7.4

Defina $λ - 6$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Defina $λ - 6$ como igual a $0$ .

$λ - 6 = 0$

Etapa 1.7.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$λ = 6$

Etapa 1.7.5

Defina $λ - 4$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.5.1

Defina $λ - 4$ como igual a $0$ .

$λ - 4 = 0$

Etapa 1.7.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$λ = 4$

Etapa 1.7.6

A solução final são todos os valores que tornam ${(λ - 3)}^{2} (λ - 6) (λ - 4) = 0$ verdadeiro.

$λ = 3, 6, 4$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

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Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $- 3$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.5

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.7

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.8

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.9

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.10

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.11

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.12

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.13

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.14

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.15

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.16

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 6 - 3 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Subtraia $3$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.2

Some $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4

Some $12$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 + 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.5

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - 3 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.6

Subtraia $3$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.7

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.8

Some $- 2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.9

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 + 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.10

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.11

Subtraia $3$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.12

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.13

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.14

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.15

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.16

Subtraia $3$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when $λ = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 0 & 12 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{12}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 4 - 2 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + x_{3} + 2 x_{4} = 0$

$x_{2} + x_{3} - 2 x_{4} = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - x_{3} - 2 x_{4} \\ - x_{3} + 2 x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | x_{3}, x_{4} \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- 6$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.5

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.6

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.7

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.8

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.9

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.10

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.11

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.12

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.13

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.14

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.15

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.16

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 6 - 6 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Subtraia $6$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Some $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Some $12$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 + 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.5

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - 6 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.6

Subtraia $6$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.7

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.8

Some $- 2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.9

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 + 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.10

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - 6 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.11

Subtraia $6$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.12

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.13

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.14

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.15

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.16

Subtraia $6$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when $λ = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 & 0 & 12 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 12 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot - 4 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot - 10 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 30 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{30}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{30}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ - \frac{1}{30} \cdot 0 & - \frac{1}{30} \cdot 0 & - \frac{1}{30} \cdot 0 & - \frac{1}{30} \cdot - 30 & - \frac{1}{30} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.5.2

Simplifique $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & 0 + 10 \cdot 0 & 1 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.6.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

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Etapa 4.3.2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 0 + 4 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.7.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{2} = 0$

$x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{1} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x_{1} \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Etapa 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

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Etapa 5.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $- 4$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 5.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.4

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.5

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.6

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.7

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.8

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.9

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.10

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.11

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.12

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.13

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.14

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.15

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.16

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 6 - 4 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3

Simplify each element.

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Etapa 5.2.3.1

Subtraia $4$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 + 0 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.2

Some $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 + 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.3

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 + 0 \\ 0 + 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.4

Some $12$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 + 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.5

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 4 - 4 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.6

Subtraia $4$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.7

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.8

Some $- 2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.9

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 + 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.10

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 3 - 4 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.11

Subtraia $4$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.12

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.13

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.14

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.15

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 - 4 \end{array}]$

Etapa 5.2.3.16

Subtraia $4$ de $3$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Etapa 5.3

Find the null space when $λ = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 3}{2} & \frac{0}{2} & \frac{12}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 2 & 0 + 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

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Etapa 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{3}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.4.2

Simplifique $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

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Etapa 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.5.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 6 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

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Etapa 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 6 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 6 \cdot 0 & - \frac{3}{2} - 6 \cdot 0 & 0 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.6.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - \frac{3}{2} x_{2} = 0$

$x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Etapa 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 x_{2}}{2} \\ x_{2} \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.6

Write as a solution set.

${x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x_{2} \in R}$

Etapa 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Etapa 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$