Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & - 2 & 3 \\ 1 & \frac{1}{4} & - \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \\ 2 & \frac{1}{2} & - 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the matrix.

$\sqrt{4^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 1^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{16 + 1 + {(- 2)}^{2} + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 3^{2} + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.6

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{4^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.8

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.11

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.12

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.13

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.14

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{4}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.15

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4^{2}} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.16

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.17

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.18

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.19

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{2^{2}} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.20

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}$

Etapa 2.21

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1^{2}}$

Etapa 2.22

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{16 + 1 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.23

Some $16$ e $1$ .

$\sqrt{17 + 4 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.24

Some $17$ e $4$ .

$\sqrt{21 + 9 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.25

Some $21$ e $9$ .

$\sqrt{30 + 1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.26

Some $30$ e $1$ .

$\sqrt{31 + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.27

Para escrever $31$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{31 \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.28

Combine $31$ e $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{31 \cdot 16}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.29

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{31 \cdot 16 + 1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.30

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.30.1

Multiplique $31$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{496 + 1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.30.2

Some $496$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{1}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.31

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.32

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.32.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.32.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{497}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.33

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{497 + 4}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.34

Some $497$ e $4$ .

$\sqrt{\frac{501}{16} + \frac{9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.35

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{501 + 9}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.36

Some $501$ e $9$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + 4 + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.37

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + 4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.38

Combine $4$ e $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{510}{16} + \frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.39

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{510 + 4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.40

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.40.1

Multiplique $4$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{510 + 64}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.40.2

Some $510$ e $64$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{1}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.41

Para escrever $\frac{1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + 1 + 1}$

Etapa 2.42

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.42.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + 1 + 1}$

Etapa 2.42.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{574}{16} + \frac{4}{16} + 1 + 1}$

Etapa 2.43

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{574 + 4}{16} + 1 + 1}$

Etapa 2.44

Some $574$ e $4$ .

$\sqrt{\frac{578}{16} + 1 + 1}$

Etapa 2.45

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{578}{16} + \frac{16}{16} + 1}$

Etapa 2.46

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{578 + 16}{16} + 1}$

Etapa 2.47

Some $578$ e $16$ .

$\sqrt{\frac{594}{16} + 1}$

Etapa 2.48

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{594}{16} + \frac{16}{16}}$

Etapa 2.49

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{594 + 16}{16}}$

Etapa 2.50

Some $594$ e $16$ .

$\sqrt{\frac{610}{16}}$

Etapa 2.51

Cancele o fator comum de $610$ e $16$ .

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Etapa 2.51.1

Fatore $2$ de $610$ .

$\sqrt{\frac{2 (305)}{16}}$

Etapa 2.51.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.51.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 305}{2 \cdot 8}}$

Etapa 2.51.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 305}{2 \cdot 8}}$

Etapa 2.51.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{305}{8}}$

Etapa 2.52

Reescreva $\sqrt{\frac{305}{8}}$ como $\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{8}}$ .

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{8}}$

Etapa 2.53

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.53.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 2.53.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{4 (2)}}$

Etapa 2.53.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{305}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.53.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 2.54

Multiplique $\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.55

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.55.1

Multiplique $\frac{\sqrt{305}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.55.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 2.55.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Etapa 2.55.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Etapa 2.55.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.55.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.55.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.55.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.55.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.55.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.55.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.55.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.55.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Etapa 2.55.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{305} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.56

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.56.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{305 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.56.2

Multiplique $305$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{610}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.57

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{610}}{4}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{610}}{4}$

Forma decimal:

$6.17454451 \dots$