Álgebra linear Exemplos

$\sqrt{5} + i \sqrt{5}$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a = \sqrt{5}$ e $b = \sqrt{5}$ .

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre $| z |$ .

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Etapa 4.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4.1.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Etapa 4.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{5 + 5}$

Etapa 4.3

Some $5$ e $5$ .

$| z | = \sqrt{10}$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 6

Como a tangente inversa de $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ produz um ângulo no primeiro quadrante, o valor do ângulo é $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 7

Substitua os valores de $θ = \frac{π}{4}$ e $| z | = \sqrt{10}$ .

$\sqrt{10} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$