Álgebra linear Exemplos

\sqrt{2} + \sqrt{2} i

$\sqrt{2} + \sqrt{2} i$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que

| z |

$| z |$ é o módulo, e

θ

$θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que

z = a + b i

$z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de

a = \sqrt{2}

$a = \sqrt{2}$ e

b = \sqrt{2}

$b = \sqrt{2}$ .

| z | = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre

| z |

$| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ como

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ como

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.1.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

Etapa 4.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{2 + 2}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some

$2$ e

$2$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Etapa 4.3.2

Reescreva

$4$ como

$2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Etapa 4.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 2$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 6

Como a tangente inversa de

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ produz um ângulo no primeiro quadrante, o valor do ângulo é

$\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 7

Substitua os valores de

$θ = \frac{π}{4}$ e

$| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$