Álgebra linear Exemplos

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

Etapa 1

Reescreva ${(4 - 3 i)}^{2}$ como $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ .

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

Etapa 2

Expanda $(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Etapa 3.1.3

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

Etapa 3.1.4

Multiplique $- 3 i (- 3 i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

Etapa 3.1.4.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

Etapa 3.1.4.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Etapa 3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

Etapa 3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

Etapa 3.1.5

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

Etapa 3.1.6

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

Etapa 3.2

Subtraia $9$ de $16$ .

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

Etapa 3.3

Subtraia $12 i$ de $- 12 i$ .

$- 5 i (7 - 24 i)$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

Etapa 5

Multiplique $7$ por $- 5$ .

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

Etapa 6

Multiplique $- 5 i (- 24 i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $- 24$ por $- 5$ .

$- 35 i + 120 i i$

Etapa 6.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

Etapa 6.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

Etapa 6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

Etapa 6.5

Some $1$ e $1$ .

$- 35 i + 120 i^{2}$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

Etapa 7.2

Multiplique $120$ por $- 1$ .

$- 35 i - 120$

Etapa 8

Reordene $- 35 i$ e $- 120$ .

$- 120 - 35 i$

Etapa 9

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 10

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 11

Substitua os valores reais de $a = - 120$ e $b = - 35$ .

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

Etapa 12

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Eleve $- 35$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

Etapa 12.2

Eleve $- 120$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

Etapa 12.3

Some $1225$ e $14400$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Etapa 12.4

Reescreva $15625$ como $125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Etapa 12.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 125$

Etapa 13

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

Etapa 14

Como a tangente inversa de $\frac{- 35}{- 120}$ produz um ângulo no terceiro quadrante, o valor do ângulo é $3.42538676$ .

$θ = 3.42538676$

Etapa 15

Substitua os valores de $θ = 3.42538676$ e $| z | = 125$ .

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$