Álgebra linear Exemplos

- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}

$- 5 i {(4 - 3 i)}^{2}$

Etapa 1

Reescreva

{(4 - 3 i)}^{2}

${(4 - 3 i)}^{2}$ como

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ .

- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))

$- 5 i ((4 - 3 i) (4 - 3 i))$

Etapa 2

Expanda

(4 - 3 i) (4 - 3 i)

$(4 - 3 i) (4 - 3 i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 (4 - 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i (4 - 3 i))$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Multiplique

4

$4$ por

4

$4$ .

- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 + 4 (- 3 i) - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Etapa 3.1.2

Multiplique

- 3

$- 3$ por

4

$4$ .

- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 3 i \cdot 4 - 3 i (- 3 i))$

Etapa 3.1.3

Multiplique

4

$4$ por

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 3 i (- 3 i))$

Etapa 3.1.4

Multiplique

- 3 i (- 3 i)

$- 3 i (- 3 i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Multiplique

- 3

$- 3$ por

- 3

$- 3$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i i)$

Etapa 3.1.4.2

Eleve

i

$i$ à potência de

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i))$

Etapa 3.1.4.3

Eleve

i

$i$ à potência de

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 (i^{1} i^{1}))$

Etapa 3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{1 + 1})$

Etapa 3.1.4.5

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 i^{2})$

Etapa 3.1.5

Reescreva

i^{2}

$i^{2}$ como

- 1

$- 1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i + 9 \cdot - 1)$

Etapa 3.1.6

Multiplique

9

$9$ por

- 1

$- 1$ .

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)

$- 5 i (16 - 12 i - 12 i - 9)$

Etapa 3.2

Subtraia

9

$9$ de

16

$16$ .

- 5 i (7 - 12 i - 12 i)

$- 5 i (7 - 12 i - 12 i)$

Etapa 3.3

Subtraia

12 i

$12 i$ de

- 12 i

$- 12 i$ .

- 5 i (7 - 24 i)

$- 5 i (7 - 24 i)$

- 5 i (7 - 24 i)

$- 5 i (7 - 24 i)$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)

$- 5 i \cdot 7 - 5 i (- 24 i)$

Etapa 5

Multiplique

7

$7$ por

- 5

$- 5$ .

- 35 i - 5 i (- 24 i)

$- 35 i - 5 i (- 24 i)$

Etapa 6

Multiplique

- 5 i (- 24 i)

$- 5 i (- 24 i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique

- 24

$- 24$ por

- 5

$- 5$ .

- 35 i + 120 i i

$- 35 i + 120 i i$

Etapa 6.2

Eleve

i

$i$ à potência de

1

$1$ .

- 35 i + 120 (i^{1} i)

$- 35 i + 120 (i^{1} i)$

Etapa 6.3

Eleve

i

$i$ à potência de

1

$1$ .

- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})

$- 35 i + 120 (i^{1} i^{1})$

Etapa 6.4

Use a regra da multiplicação de potências

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

- 35 i + 120 i^{1 + 1}

$- 35 i + 120 i^{1 + 1}$

Etapa 6.5

Some

1

$1$ e

1

$1$ .

- 35 i + 120 i^{2}

$- 35 i + 120 i^{2}$

- 35 i + 120 i^{2}

$- 35 i + 120 i^{2}$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva

i^{2}

$i^{2}$ como

- 1

$- 1$ .

- 35 i + 120 \cdot - 1

$- 35 i + 120 \cdot - 1$

Etapa 7.2

Multiplique

120

$120$ por

- 1

$- 1$ .

- 35 i - 120

$- 35 i - 120$

- 35 i - 120

$- 35 i - 120$

Etapa 8

Reordene

- 35 i

$- 35 i$ e

- 120

$- 120$ .

- 120 - 35 i

$- 120 - 35 i$

Etapa 9

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que

| z |

$| z |$ é o módulo, e

θ

$θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 10

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que

z = a + b i

$z = a + b i$

Etapa 11

Substitua os valores reais de

a = - 120

$a = - 120$ e

b = - 35

$b = - 35$ .

| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}

$| z | = \sqrt{{(- 35)}^{2} + {(- 120)}^{2}}$

Etapa 12

Encontre

| z |

$| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Eleve

- 35

$- 35$ à potência de

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}

$| z | = \sqrt{1225 + {(- 120)}^{2}}$

Etapa 12.2

Eleve

- 120

$- 120$ à potência de

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1225 + 14400}

$| z | = \sqrt{1225 + 14400}$

Etapa 12.3

Some

1225

$1225$ e

14400

$14400$ .

| z | = \sqrt{15625}

$| z | = \sqrt{15625}$

Etapa 12.4

Reescreva

15625

$15625$ como

125^{2}

$125^{2}$ .

| z | = \sqrt{125^{2}}

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Etapa 12.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

| z | = 125

$| z | = 125$

| z | = 125

$| z | = 125$

Etapa 13

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

θ = arctan (\frac{- 35}{- 120})

$θ = \arctan (\frac{- 35}{- 120})$

Etapa 14

Como a tangente inversa de

\frac{- 35}{- 120}

$\frac{- 35}{- 120}$ produz um ângulo no terceiro quadrante, o valor do ângulo é

3.42538676

$3.42538676$ .

θ = 3.42538676

$θ = 3.42538676$

Etapa 15

Substitua os valores de

θ = 3.42538676

$θ = 3.42538676$ e

| z | = 125

$| z | = 125$ .

125 (cos (3.42538676) + i sin (3.42538676))

$125 (\cos (3.42538676) + i \sin (3.42538676))$