Álgebra linear Exemplos

- 4 \sqrt{3} + i

$- 4 \sqrt{3} + i$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que

| z |

$| z |$ é o módulo, e

θ

$θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que

z = a + b i

$z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de

a = - 4 \sqrt{3}

$a = - 4 \sqrt{3}$ e

b = 1

$b = 1$ .

| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre

| z |

$| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra do produto a

- 4 \sqrt{3}

$- 4 \sqrt{3}$ .

| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Eleve

- 4

$- 4$ à potência de

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ como

3

$3$ .

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Etapa 4.2.1

Use

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ como

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.3

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

Etapa 4.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{1 + 16 \cdot 3}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique

$16$ por

$3$ .

$| z | = \sqrt{1 + 48}$

Etapa 4.3.2

Some

$1$ e

$48$ .

$| z | = \sqrt{49}$

Etapa 4.3.3

Reescreva

$49$ como

$7^{2}$ .

$| z | = \sqrt{7^{2}}$

Etapa 4.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 7$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{1}{- 4 \sqrt{3}})$

Etapa 6

Como a tangente inversa de

$\frac{1}{- 4 \sqrt{3}}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é

$2.99824508$ .

$θ = 2.99824508$

Etapa 7

Substitua os valores de

$θ = 2.99824508$ e

$| z | = 7$ .

$7 (\cos (2.99824508) + i \sin (2.99824508))$