Álgebra linear Exemplos

$15 [\begin{array}{c} 3 & - 6 & 5 \\ 2 & - 1 & 0 \\ - 4 & 7 & 4 \end{array}] - 5 x = 30 [\begin{array}{c} - 1 & - 2 & 1 \\ 5 & 5 & - 4 \\ - 3 & - 2 & 1 \end{array}]$

Etapa 1

A transformação define um mapa de $ℝ^{3}$ para $ℝ^{3}$ . Para provar que a transformação é linear, a transformação deve preservar a multiplicação escalar, a adição e o vetor zero.

M: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Etapa 2

Provar a transformação primeiro preserva esta propriedade.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Etapa 3

Estabeleça duas matrizes para testar se a propriedade da soma foi preservada para $M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Etapa 4

Some as duas matrizes.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Etapa 5

Aplique a transformação ao vetor.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} - 1 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Etapa 6

Agrupe as variáveis para quebrar o resultado em duas matrizes.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 7

Como a propriedade de adição da transformação não se sustenta, esta transformação não é linear.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$