Álgebra linear Exemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 725 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ u + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 4 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ v + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 528 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ w = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 35 - 18 102 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 7 \\ 2 \\ 5 \end{array}] u + [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \end{array}] v + [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 8 \end{array}] w = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Etapa 1

A transformação define um mapa de

$ℝ^{0}$ para

$ℝ^{3}$ . Para provar que a transformação é linear, a transformação deve preservar a multiplicação escalar, a adição e o vetor zero.

$ℝ^{0} \to ℝ^{3}$

Etapa 2

Provar a transformação primeiro preserva esta propriedade.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Etapa 3

Estabeleça duas matrizes para testar se a propriedade da soma foi preservada para

$M$ .

Etapa 4

Some as duas matrizes.

$M$

Etapa 5

Aplique a transformação ao vetor.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 35 \\ - 18 \\ 102 \end{array}]$

Etapa 6

Agrupe as variáveis para quebrar o resultado em duas matrizes.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 7

Como a propriedade de adição da transformação não se sustenta, esta transformação não é linear.

$M (x + y) \neq M (x) + M (y)$