Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 6 & - 2 & - 4 & 4 \\ 3 & - 3 & - 6 & 1 \\ - 12 & 8 & 21 & - 8 \\ - 6 & 0 & - 10 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ w \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}]$

Step 1

O kernel de uma transformação é um vetor que torna a transformação igual ao vetor zero (a imagem recíproca da transformação).

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 8 \\ - 43 \end{array}] = 0$

Step 2

Crie um sistema de equações a partir da equação vetorial.

$2 = 0$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$0 = - 2$

$- 4 = 0$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 4

Some $4$ aos dois lados da equação.

$0 = 4$

$0 = - 2$

$8 = 0$

$- 43 = 0$

Step 5

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$0 = - 8$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$- 43 = 0$

Step 6

Some $43$ aos dois lados da equação.

$0 = 43$

$0 = - 2$

$0 = 4$

$0 = - 8$

Step 7

Escreva o sistema de equações em formato de matriz.

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Step 8

Encontre a forma escalonada reduzida por linha da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Realize a operação de linha $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ em $R_{1}$ (linha $1$ ) para converter alguns elementos na linha em $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pela operação de linha $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} R_{1} \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Substitua $R_{1}$ (linha $1$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{2}) \cdot (- 2) \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{2} R_{1}$

Simplifique $R_{1}$ (linha $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ em $R_{2}$ (linha $2$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pela operação de linha $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{2} \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Substitua $R_{2}$ (linha $2$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{2} = - 4 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifique $R_{2}$ (linha $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 8 \\ 43 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ em $R_{3}$ (linha $3$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pela operação de linha $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 8 \cdot R_{1} + R_{3} \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Substitua $R_{3}$ (linha $3$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ (8) \cdot (1) - 8 \\ 43 \end{array}]$

$R_{3} = 8 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifique $R_{3}$ (linha $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 43 \end{array}]$

Realize a operação de linha $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ em $R_{4}$ (linha $4$ ) para converter alguns elementos na linha em $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $R_{4}$ (linha $4$ ) pela operação de linha $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ para converter alguns elementos na linha para o valor desejado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ - 43 \cdot R_{1} + R_{4} \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Substitua $R_{4}$ (linha $4$ ) pelos valores reais dos elementos referentes à operação de linha $R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ (- 43) \cdot (1) + 43 \end{array}]$

$R_{4} = - 43 \cdot R_{1} + R_{4}$

Simplifique $R_{4}$ (linha $4$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Step 9

Use a matriz de resultados para declarar as soluções finais ao sistema de equações.

$0 = 1$

Step 10

Essa expressão é o conjunto de soluções do sistema de equações.

${}$

Step 11

Para decompor um vetor da solução, reorganize cada equação representada na forma de linha reduzida da matriz aumentada resolvendo a variável dependente em cada linha que produz igualdade vetorial.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 12

O espaço nulo do conjunto é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 13

O kernel de $M$ é o subespaço ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$