Álgebra linear Exemplos

$\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x + 7}{x} + \frac{6}{3 x + 21}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x + 7}{x}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 7$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x + 7] - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [7]) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Etapa 2.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x (1 + 0) - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Etapa 2.6

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x \cdot 1 - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Etapa 2.7

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x - (x + 7) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Etapa 2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{6}{3 x + 21}]$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $6$ e $3 x + 21$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 x + 21}]$

Etapa 3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 21}]$

Etapa 3.1.2.2

Fatore $3$ de $21$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x) + 3 (7)}]$

Etapa 3.1.2.3

Fatore $3$ de $3 (x) + 3 (7)$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

Etapa 3.1.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3 \cdot 2}{3 (x + 7)}]$

Etapa 3.1.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x + 7}]$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x + 7}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 7}]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{1}{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{- 1}$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{- 1}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x + 7$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 7$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 7])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 7$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]))$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [7]))$

Etapa 3.7

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} (1 + 0))$

Etapa 3.8

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2} \cdot 1)$

Etapa 3.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} + 2 (- {(x + 7)}^{- 2})$

Etapa 3.10

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 {(x + 7)}^{- 2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x - (x + 7)}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - x - 1 \cdot 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{x - x - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Subtraia $7$ de $0$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{x^{2}} - 2 \frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 4.3.5

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(x + 7)}^{2}}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{- 2}{{(x + 7)}^{2}}$

Etapa 4.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{x^{2}} - \frac{2}{{(x + 7)}^{2}}$