Álgebra linear Exemplos

$S [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = (x + y + z) \cdot [\begin{array}{c} 1 \\ z \end{array}]$

Etapa 1

A transformação define um mapa de $ℝ^{3}$ para $ℝ^{1}$ . Para provar que a transformação é linear, a transformação deve preservar a multiplicação escalar, a adição e o vetor zero.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{1}$

Etapa 2

Provar a transformação primeiro preserva esta propriedade.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Etapa 3

Estabeleça duas matrizes para testar se a propriedade da soma foi preservada para $S$ .

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Etapa 4

Some as duas matrizes.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Etapa 5

Aplique a transformação ao vetor.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Etapa 6

Reorganize $x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} + y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Etapa 7

Agrupe as variáveis para quebrar o resultado em duas matrizes.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} + y_{2} + y_{3} \end{array}]$

Etapa 8

A propriedade de adição da transformação é verdadeira.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

Etapa 9

Para que uma transformação seja linear, ela deve manter a multiplicação escalar.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}])$

Etapa 10

Fatore $p$ a partir de cada elemento.

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Etapa 10.1

Multiplique $p$ por cada elemento na matriz.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p x \\ p y \\ p z \end{array}])$

Etapa 10.2

Aplique a transformação ao vetor.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

Etapa 10.3

Reorganize $p x + p y + p z$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p x + p y + p z \end{array}]$

Etapa 10.4

Fatore o elemento $0, 0$ multiplicando $p x + p y + p z$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (x + y + z) \end{array}]$

Etapa 11

A segunda propriedade das transformações lineares é preservada nesta transformação.

$S (p [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]) = p S (x)$

Etapa 12

Para que a transformação seja linear, preserve o vetor zero.

$S (0) = 0$

Etapa 13

Aplique a transformação ao vetor.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 + 0 + 0 \end{array}]$

Etapa 14

Reorganize $0 + 0 + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Etapa 15

O vetor zero é preservado pela transformação.

$S (0) = 0$

Etapa 16

Como as três propriedades das transformações lineares não correspondem, esta não é uma transformação linear.

Transformação linear