Álgebra linear Exemplos

$p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Etapa 1

A transformação define um mapa de $ℝ^{3}$ para $ℝ^{3}$ . Para provar que a transformação é linear, a transformação deve preservar a multiplicação escalar, a adição e o vetor zero.

p: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Etapa 2

Provar a transformação primeiro preserva esta propriedade.

$p (x + y) = p (x) + p (y)$

Etapa 3

Estabeleça duas matrizes para testar se a propriedade da soma foi preservada para $p$ .

$p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Etapa 4

Some as duas matrizes.

$p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Etapa 5

Aplique a transformação ao vetor.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Etapa 6

Reorganize $\frac{26}{14}$ .

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Etapa 7

Agrupe as variáveis para quebrar o resultado em duas matrizes.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 8

Como a propriedade de adição da transformação não se sustenta, esta transformação não é linear.

$p (x + y) \neq p (x) + p (y)$