Álgebra linear Exemplos

$(\frac{6}{6 + i}) (\frac{6 - i}{6 - i})$

Etapa 1

Cancele o fator comum de $6 - i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{6 + i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Etapa 1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{6 + i} \cdot 1$

Etapa 2

Multiplique $\frac{6}{6 + i}$ por $1$ .

$\frac{6}{6 + i}$

Etapa 3

Multiplique o numerador e o denominador de $\frac{6}{6 + 1 i}$ pelo conjugado de $6 + 1 i$ para tornar o denominador real.

$\frac{6}{6 + 1 i} \cdot \frac{6 - i}{6 - i}$

Etapa 4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine.

$\frac{6 (6 - i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{36 + 6 (- i)}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{(6 + 1 i) (6 - i)}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Expanda $(6 + 1 i) (6 - i)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{36 - 6 i}{6 (6 - i) + 1 i (6 - i)}$

Etapa 4.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i (6 - i)}$

Etapa 4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{36 - 6 i}{6 \cdot 6 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 6 (- i) + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 1 i \cdot 6 + 1 i (- i)}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i + 1 i (- i)}$

Etapa 4.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i i}$

Etapa 4.3.2.5

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i)}$

Etapa 4.3.2.6

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - (i^{1} i^{1})}$

Etapa 4.3.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{1 + 1}}$

Etapa 4.3.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - 6 i + 6 i - i^{2}}$

Etapa 4.3.2.9

Some $- 6 i$ e $6 i$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 0 - i^{2}}$

Etapa 4.3.2.10

Some $36$ e $0$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - i^{2}}$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 - - 1}$

Etapa 4.3.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{36 - 6 i}{36 + 1}$

Etapa 4.3.4

Some $36$ e $1$ .

$\frac{36 - 6 i}{37}$

Etapa 5

Divida a fração $\frac{36 - 6 i}{37}$ em duas frações.

$\frac{36}{37} + \frac{- 6 i}{37}$

Etapa 6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{36}{37} - \frac{6 i}{37}$

Etapa 7

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 8

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 9

Substitua os valores reais de $a = \frac{36}{37}$ e $b = - \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Etapa 10

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{6}{37})}^{2} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Etapa 10.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{6}{37}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Etapa 10.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{6^{2}}{37^{2}}) + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Etapa 10.2.2

Multiplique $\frac{6^{2}}{37^{2}}$ por $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{6^{2}}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Etapa 10.2.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37^{2}} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Etapa 10.2.4

Eleve $37$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + {(\frac{36}{37})}^{2}}$

Etapa 10.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{36}{37}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{36^{2}}{37^{2}}}$

Etapa 10.2.6

Eleve $36$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{37^{2}}}$

Etapa 10.2.7

Eleve $37$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{36}{1369} + \frac{1296}{1369}}$

Etapa 10.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$| z | = \sqrt{\frac{36 + 1296}{1369}}$

Etapa 10.2.9

Some $36$ e $1296$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1332}{1369}}$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $1332$ e $1369$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Fatore $37$ de $1332$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 (36)}{1369}}$

Etapa 10.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Fatore $37$ de $1369$ .

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Etapa 10.3.2.2

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{\frac{37 \cdot 36}{37 \cdot 37}}$

Etapa 10.3.2.3

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{\frac{36}{37}}$

Etapa 10.4

Reescreva $\sqrt{\frac{36}{37}}$ como $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{37}}$

Etapa 10.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{37}}$

Etapa 10.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}}$

Etapa 10.6

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{37}}$ por $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6}{\sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$

Etapa 10.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.1

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{37}}$ por $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Etapa 10.7.2

Eleve $\sqrt{37}$ à potência de $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Etapa 10.7.3

Eleve $\sqrt{37}$ à potência de $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{\sqrt{37} \sqrt{37}}$

Etapa 10.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{1 + 1}}$

Etapa 10.7.5

Some $1$ e $1$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{\sqrt{37}}^{2}}$

Etapa 10.7.6

Reescreva ${\sqrt{37}}^{2}$ como $37$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{37}$ como $37^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{{(37^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 10.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 10.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 10.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Etapa 10.7.6.5

Avalie o expoente.

$| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$

Etapa 11

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}})$

Etapa 12

Como a tangente inversa de $\frac{- \frac{6}{37}}{\frac{36}{37}}$ produz um ângulo no quarto quadrante, o valor do ângulo é $- 0.16514867$ .

$θ = - 0.16514867$

Etapa 13

Substitua os valores de $θ = - 0.16514867$ e $| z | = \frac{6 \sqrt{37}}{37}$ .

$\frac{6 \sqrt{37}}{37 (\cos (- 0.16514867) + i \sin (- 0.16514867))}$