Álgebra linear Exemplos

$y - 2 x y = x^{3} y^{5}$

Etapa 1

Subtraia $x^{3} y^{5}$ dos dois lados da equação.

$y - 2 x y - x^{3} y^{5} = 0$

Etapa 2

Fatore $y$ de $y - 2 x y - x^{3} y^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y - x^{3} y^{5} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $y$ de $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) - x^{3} y^{5} = 0$

Etapa 2.3

Fatore $y$ de $- x^{3} y^{5}$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) + y (- x^{3} y^{4}) = 0$

Etapa 2.4

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y \cdot (1 - 2 x) + y (- x^{3} y^{4}) = 0$

Etapa 2.5

Fatore $y$ de $y \cdot (1 - 2 x) + y (- x^{3} y^{4})$ .

$y (1 - 2 x - x^{3} y^{4}) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y = 0$

$1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$

Etapa 4

Defina $y$ como igual a $0$ .

$y = 0$

Etapa 5

Defina $1 - 2 x - x^{3} y^{4}$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $1 - 2 x - x^{3} y^{4}$ como igual a $0$ .

$1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$

Etapa 5.2

Resolva $1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x - x^{3} y^{4} = - 1$

Etapa 5.2.1.2

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$ por $- x^{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$ por $- x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} y^{4}}{- x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{3} y^{4}}{x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} y^{4}}{x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Etapa 5.2.2.2.2.2

Divida $y^{4}$ por $1$ .

$y^{4} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Etapa 5.2.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1.2.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{- x^{3}}$

Etapa 5.2.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1.2.2.1

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{x (- x^{2})}$

Etapa 5.2.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{x (- x^{2})}$

Etapa 5.2.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{2}{- x^{2}}$

Etapa 5.2.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}$

Etapa 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Para escrever $- \frac{2}{x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}}$

Etapa 5.2.4.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x^{3}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Multiplique $\frac{2}{x^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2} x}}$

Etapa 5.2.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2} x^{1}}}$

Etapa 5.2.4.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2 + 1}}}$

Etapa 5.2.4.2.2.2

Some $2$ e $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{3}}}$

Etapa 5.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1 - 2 x}{x^{3}}}$

Etapa 5.2.4.4

Reescreva $\sqrt[4]{\frac{1 - 2 x}{x^{3}}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Etapa 5.2.4.5

Multiplique $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Etapa 5.2.4.6

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.6.1

Multiplique $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{\sqrt[4]{x^{3}} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Etapa 5.2.4.6.2

Eleve $\sqrt[4]{x^{3}}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{1} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Etapa 5.2.4.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{1 + 3}}$

Etapa 5.2.4.6.4

Some $1$ e $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{4}}$

Etapa 5.2.4.6.5

Reescreva ${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4}$ como $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.6.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x^{3}}$ como $x^{\frac{3}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{(x^{\frac{3}{4}})}^{4}}$

Etapa 5.2.4.6.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3}{4} \cdot 4}}$

Etapa 5.2.4.6.5.3

Combine $\frac{3}{4}$ e $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3 \cdot 4}{4}}}$

Etapa 5.2.4.6.5.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{12}{4}}}$

Etapa 5.2.4.6.5.5

Cancele o fator comum de $12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.6.5.5.1

Fatore $4$ de $12$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4}}}$

Etapa 5.2.4.6.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.6.5.5.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4 (1)}}}$

Etapa 5.2.4.6.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}}}$

Etapa 5.2.4.6.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3}{1}}}$

Etapa 5.2.4.6.5.5.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{3}}$

Etapa 5.2.4.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.7.1

Reescreva ${\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}$ como $\sqrt[4]{{(x^{3})}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{{(x^{3})}^{3}}}{x^{3}}$

Etapa 5.2.4.7.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{3 \cdot 3}}}{x^{3}}$

Etapa 5.2.4.7.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{9}}}{x^{3}}$

Etapa 5.2.4.7.3

Reescreva $x^{9}$ como ${(x^{2})}^{4} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.7.3.1

Fatore $x^{8}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{8} x}}{x^{3}}$

Etapa 5.2.4.7.3.2

Reescreva $x^{8}$ como ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{{(x^{2})}^{4} x}}{x^{3}}$

Etapa 5.2.4.7.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} x^{2} \sqrt[4]{x}}{x^{3}}$

Etapa 5.2.4.7.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x^{3}}$

Etapa 5.2.4.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.8.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.8.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} (\sqrt[4]{(1 - 2 x) x})}{x^{3}}$

Etapa 5.2.4.8.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.8.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = \pm \frac{x^{2} (\sqrt[4]{(1 - 2 x) x})}{x^{2} x}$

Etapa 5.2.4.8.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x^{2} x}$

Etapa 5.2.4.8.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x}$

Etapa 5.2.4.8.2

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Etapa 5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Etapa 5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Etapa 5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $y (1 - 2 x - x^{3} y^{4}) = 0$ verdadeiro.

$y = 0$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x (1 - 2 x) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Etapa 8.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 8.3

Defina $1 - 2 x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Defina $1 - 2 x$ como igual a $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Etapa 8.3.2

Resolva $1 - 2 x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 8.3.2.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 8.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 8.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 8.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 8.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (1 - 2 x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Etapa 8.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 8.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 8.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Etapa 8.6.1.3

O lado esquerdo $- 10$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.25$

Etapa 8.6.2.2

Substitua $x$ por $0.25$ na desigualdade original.

$(0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Etapa 8.6.2.3

O lado esquerdo $0.125$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.6.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 8.6.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$(3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Etapa 8.6.3.3

O lado esquerdo $- 15$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Etapa 8.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Etapa 9

Defina o denominador em $\frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 10

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \frac{1}{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | 0 < x \leq \frac{1}{2}}$

Etapa 11