Álgebra linear Exemplos

$y = \sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$

Etapa 1

Defina o argumento em $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x = - 4$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Etapa 2.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 4$

$x = 2$

Etapa 2.6

Consolide as soluções.

$x = 4, 2$

Etapa 2.7

Encontre o domínio de $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Defina o denominador em $\frac{4 - x}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 2.7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 2$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $- 0.5$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x < 4$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) \geq 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$

Etapa 4.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Reescreva $\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{4 - x}{x - 2}$

Etapa 4.2.2

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Etapa 4.2.3

Simplifique $e^{0} (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Remova os parênteses.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Etapa 4.2.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$4 - x = 1 (x - 2)$

Etapa 4.2.3.3

Multiplique $x - 2$ por $1$ .

$4 - x = x - 2$

Etapa 4.2.4

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$4 - x - x = - 2$

Etapa 4.2.4.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$4 - 2 x = - 2$

Etapa 4.2.5

Fatore $2$ de $4 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) - 2 x = - 2$

Etapa 4.2.5.2

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$2 (2) + 2 (- x) = - 2$

Etapa 4.2.5.3

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (- x)$ .

$2 (2 - x) = - 2$

Etapa 4.2.6

Divida cada termo em $2 (2 - x) = - 2$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.1

Divida cada termo em $2 (2 - x) = - 2$ por $2$ .

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Etapa 4.2.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Etapa 4.2.6.2.1.2

Divida $2 - x$ por $1$ .

$2 - x = \frac{- 2}{2}$

Etapa 4.2.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.6.3.1

Divida $- 2$ por $2$ .

$2 - x = - 1$

Etapa 4.2.7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1 - 2$

Etapa 4.2.7.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- x = - 3$

Etapa 4.2.8

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 4.2.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 4.2.8.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 4.2.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.8.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Defina o argumento em $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Etapa 4.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x = - 4$

Etapa 4.3.2.3

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Divida cada termo em $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.3.2.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 4.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Etapa 4.3.2.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.3.2.5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 4$

$x = 2$

Etapa 4.3.2.6

Consolide as soluções.

$x = 4, 2$

Etapa 4.3.2.7

Encontre o domínio de $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.7.1

Defina o denominador em $\frac{4 - x}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 4.3.2.7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.3.2.7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4.3.2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 4.3.2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.3.2.9.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Etapa 4.3.2.9.1.3

O lado esquerdo $- 2$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.3.2.9.2

Teste um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 4.3.2.9.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Etapa 4.3.2.9.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.3.2.9.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 4.3.2.9.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Etapa 4.3.2.9.3.3

O lado esquerdo $- 0.5$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.3.2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 4.3.2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x < 4$

Etapa 4.3.3

Defina o denominador em $\frac{4 - x}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 4.3.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(2, 4)$

Etapa 4.4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 4.5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Teste um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 4.5.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\ln (\frac{4 - (0)}{(0) - 2}) \geq 0$

Etapa 4.5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 4.5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.5.2

Teste um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2.5$

Etapa 4.5.2.2

Substitua $x$ por $2.5$ na desigualdade original.

$\ln (\frac{4 - (2.5)}{(2.5) - 2}) \geq 0$

Etapa 4.5.2.3

O lado esquerdo $1.09861228$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 4.5.3

Teste um valor no intervalo $3 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1

Escolha um valor no intervalo $3 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3.5$

Etapa 4.5.3.2

Substitua $x$ por $3.5$ na desigualdade original.

$\ln (\frac{4 - (3.5)}{(3.5) - 2}) \geq 0$

Etapa 4.5.3.3

O lado esquerdo $- 1.09861228$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.5.4

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 4.5.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\ln (\frac{4 - (6)}{(6) - 2}) \geq 0$

Etapa 4.5.4.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.4.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 4.5.4.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 4.5.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadeiro

$3 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 3$ Verdadeiro

$3 < x < 4$ Falso

$x > 4$ Falso

Etapa 4.6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x \leq 3$

Etapa 5

Defina o denominador em $\frac{4 - x}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 6

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 7

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(2, 3]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | 2 < x \leq 3}$

Etapa 8