Álgebra linear Exemplos

$y = \ln (x^{2} + \sqrt{x}) + a r c t g (\frac{e^{x}}{x}) + \frac{1}{x}$

Etapa 1

Defina o argumento em $\ln (x^{2} + \sqrt{x})$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} + \sqrt{x} > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da desigualdade.

$\sqrt{x} > - x^{2}$

Etapa 2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x}}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} > {(- x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Simplifique.

$x > {(- x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Simplifique ${(- x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- x^{2}$ .

$x > {(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$x > 1 {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.3.1.3

Multiplique ${(x^{2})}^{2}$ por $1$ .

$x > {(x^{2})}^{2}$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x > x^{2 \cdot 2}$

Etapa 2.3.3.1.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x > x^{4}$

Etapa 2.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Subtraia $x^{4}$ dos dois lados da desigualdade.

$x - x^{4} > 0$

Etapa 2.4.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x - x^{4} = 0$

Etapa 2.4.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Fatore $x$ de $x - x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Etapa 2.4.3.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Etapa 2.4.3.1.3

Fatore $x$ de $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Etapa 2.4.3.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Etapa 2.4.3.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Etapa 2.4.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Etapa 2.4.3.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Etapa 2.4.3.4.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Etapa 2.4.3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Etapa 2.4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0$

Etapa 2.4.5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4.6

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 2.4.6.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 2.4.6.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.4.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.4.6.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.4.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 2.4.7

Defina $1 + x + x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.1

Defina $1 + x + x^{2}$ como igual a $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Etapa 2.4.7.2

Resolva $1 + x + x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.7.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.7.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.4.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.4.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.7.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.7.2.4.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.7.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.4.7.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.4.7.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.7.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.5.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.5.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.7.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.7.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.7.2.5.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.7.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.4.7.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.4.7.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.7.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.8

A solução final são todos os valores que tornam $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5

Encontre o domínio de $x^{2} + \sqrt{x}$ .

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Etapa 2.5.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 2.5.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 2.6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 2.7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.7.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 2.7.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{2} + \sqrt{- 2} > 0$

Etapa 2.7.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.7.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.7.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 2.7.2.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

${(0.5)}^{2} + \sqrt{0.5} > 0$

Etapa 2.7.2.3

O lado esquerdo $0.95710678$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.7.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 2.7.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{2} + \sqrt{4} > 0$

Etapa 2.7.3.3

O lado esquerdo $18$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.7.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Verdadeiro

$x < 0$ Falso

$0 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Verdadeiro

Etapa 2.8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < 1$ ou $x > 1$

Etapa 3

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 4

Defina o denominador em $\frac{e^{x}}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Etapa 6