Álgebra linear Exemplos

${(3 - h)}^{2} + {(- 5 - k)}^{2} = 2 {(\sqrt{7})}^{2}$

Etapa 1

Subtraia ${(- 5 - k)}^{2}$ dos dois lados da equação.

${(3 - h)}^{2} = 2 {\sqrt{7}}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Etapa 2

Reescreva ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Etapa 2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{1} - {(- 5 - k)}^{2}$

Etapa 2.5

Avalie o expoente.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7 - {(- 5 - k)}^{2}$

Etapa 3

Multiplique $2$ por $7$ .

${(3 - h)}^{2} = 14 - {(- 5 - k)}^{2}$

Etapa 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva ${(- 5 - k)}^{2}$ como $(- 5 - k) (- 5 - k)$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - ((- 5 - k) (- 5 - k))}$

Etapa 5.2

Expanda $(- 5 - k) (- 5 - k)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 (- 5 - k) - k (- 5 - k))}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k (- 5 - k))}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Etapa 5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Etapa 5.3.1.3

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - k (- k))}$

Etapa 5.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k \cdot k)}$

Etapa 5.3.1.5

Multiplique $k$ por $k$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.5.1

Mova $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 (k \cdot k))}$

Etapa 5.3.1.5.2

Multiplique $k$ por $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k^{2})}$

Etapa 5.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + 1 k^{2})}$

Etapa 5.3.1.7

Multiplique $k^{2}$ por $1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + k^{2})}$

Etapa 5.3.2

Some $5 k$ e $5 k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 10 k + k^{2})}$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 1 \cdot 25 - (10 k) - k^{2}}$

Etapa 5.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - (10 k) - k^{2}}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - 10 k - k^{2}}$

Etapa 5.6

Subtraia $25$ de $14$ .

$3 - h = \pm \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$3 - h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{h}{1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.3.2.2

Divida $h$ por $1$ .

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1}$ .

$h = - 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.3.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ como $- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.3.3.1.3

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Etapa 6.4

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$3 - h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Etapa 6.5

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Etapa 6.6

Divida cada termo em $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Divida cada termo em $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{h}{1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.6.2.2

Divida $h$ por $1$ .

$h = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.6.3.1.2

Divida $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ por $1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.6.3.1.3

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Etapa 6.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- 11 - 10 k - k^{2} \geq 0$

Etapa 8

Resolva $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$- 11 - 10 k - k^{2} = 0$

Etapa 8.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 8.3

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = - 10$ e $c = - 11$ na fórmula quadrática e resolva $k$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 11)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.4.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.4.1.3

Subtraia $44$ de $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.4.1.4

Reescreva $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.4.1

Fatore $4$ de $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Etapa 8.4.3

Simplifique $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Etapa 8.4.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Etapa 8.4.5

Reescreva $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ como $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Etapa 8.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.5.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.5.1.3

Subtraia $44$ de $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.5.1.4

Reescreva $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1.4.1

Fatore $4$ de $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Etapa 8.5.3

Simplifique $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Etapa 8.5.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Etapa 8.5.5

Reescreva $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ como $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Etapa 8.5.6

Altere $\pm$ para $+$ .

$k = - (5 + \sqrt{14})$

Etapa 8.5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$k = - 1 \cdot 5 - \sqrt{14}$

Etapa 8.5.8

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$k = - 5 - \sqrt{14}$

Etapa 8.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.6.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.6.1.3

Subtraia $44$ de $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.6.1.4

Reescreva $56$ como $2^{2} \cdot 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1.4.1

Fatore $4$ de $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 8.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Etapa 8.6.3

Simplifique $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Etapa 8.6.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Etapa 8.6.5

Reescreva $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ como $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Etapa 8.6.6

Altere $\pm$ para $-$ .

$k = - (5 - \sqrt{14})$

Etapa 8.6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$k = - 1 \cdot 5 + \sqrt{14}$

Etapa 8.6.8

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Etapa 8.6.9

Multiplique $- - \sqrt{14}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$k = - 5 + 1 \sqrt{14}$

Etapa 8.6.9.2

Multiplique $\sqrt{14}$ por $1$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Etapa 8.7

Consolide as soluções.

$k = - 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}$

Etapa 8.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$k < - 5 - \sqrt{14}$

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$

$k > - 5 + \sqrt{14}$

Etapa 8.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.1

Teste um valor no intervalo $k < - 5 - \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $k < - 5 - \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$k = - 11$

Etapa 8.9.1.2

Substitua $k$ por $- 11$ na desigualdade original.

$- 11 - 10 \cdot - 11 - {(- 11)}^{2} \geq 0$

Etapa 8.9.1.3

O lado esquerdo $- 22$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$k = - 5$

Etapa 8.9.2.2

Substitua $k$ por $- 5$ na desigualdade original.

$- 11 - 10 \cdot - 5 - {(- 5)}^{2} \geq 0$

Etapa 8.9.2.3

O lado esquerdo $14$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.9.3

Teste um valor no intervalo $k > - 5 + \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $k > - 5 + \sqrt{14}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$k = 0$

Etapa 8.9.3.2

Substitua $k$ por $0$ na desigualdade original.

$- 11 - 10 \cdot 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Etapa 8.9.3.3

O lado esquerdo $- 11$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Falso

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Verdadeiro

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Falso

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Falso

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Verdadeiro

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Falso

Etapa 8.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $k$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${k | - 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}}$

Etapa 10