Álgebra linear Exemplos

$\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Etapa 1

Subtraia $\frac{x^{2}}{169}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{169}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $25$ .

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Etapa 3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$25 \frac{y^{2}}{25} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $25 (1 - \frac{x^{2}}{169})$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 25 \cdot 1 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $25$ por $1$ .

$y^{2} = 25 + 25 (- \frac{x^{2}}{169})$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $25 (- \frac{x^{2}}{169})$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$y^{2} = 25 - 25 \frac{x^{2}}{169}$

Etapa 3.2.1.3.2

Combine $- 25$ e $\frac{x^{2}}{169}$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{169}$

Etapa 3.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{169}$

Etapa 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{169}}$ .

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Etapa 5.1

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 5.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - \frac{25 x^{2}}{169}}$

Etapa 5.1.2

Reescreva $\frac{25 x^{2}}{169}$ como ${(\frac{5 x}{13})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - {(\frac{5 x}{13})}^{2}}$

Etapa 5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = \frac{5 x}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Etapa 5.3

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \cdot \frac{13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Etapa 5.4

Combine $5$ e $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 \cdot 13}{13} + \frac{5 x}{13}) (5 - \frac{5 x}{13})}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 \cdot 13 + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Etapa 5.6

Fatore $5$ de $5 \cdot 13 + 5 x$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $5$ de $5 \cdot 13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 x}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Etapa 5.6.2

Fatore $5$ de $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13) + 5 (x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Etapa 5.6.3

Fatore $5$ de $5 (13) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 - \frac{5 x}{13})}$

Etapa 5.7

Para escrever $5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (5 \cdot \frac{13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

Etapa 5.8

Combine $5$ e $\frac{13}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} (\frac{5 \cdot 13}{13} - \frac{5 x}{13})}$

Etapa 5.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 \cdot 13 - 5 x}{13}}$

Etapa 5.10

Fatore $5$ de $5 \cdot 13 - 5 x$ .

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Etapa 5.10.1

Fatore $5$ de $5 \cdot 13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) - 5 x}{13}}$

Etapa 5.10.2

Fatore $5$ de $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13) + 5 (- x)}{13}}$

Etapa 5.10.3

Fatore $5$ de $5 (13) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x)}{13} \cdot \frac{5 (13 - x)}{13}}$

Etapa 5.11

Multiplique $\frac{5 (13 + x)}{13}$ por $\frac{5 (13 - x)}{13}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (13 + x) (5 (13 - x))}{13 \cdot 13}}$

Etapa 5.12

Multiplique.

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Etapa 5.12.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{13 \cdot 13}}$

Etapa 5.12.2

Multiplique $13$ por $13$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}}$

Etapa 5.13

Reescreva $\frac{25 (13 + x) (13 - x)}{169}$ como ${(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))$ .

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Etapa 5.13.1

Fatore a potência perfeita $5^{2}$ de $25 (13 + x) (13 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{169}}$

Etapa 5.13.2

Fatore a potência perfeita $13^{2}$ de $169$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}}$

Etapa 5.13.3

Reorganize a fração $\frac{5^{2} ((13 + x) (13 - x))}{13^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{13})}^{2} ((13 + x) (13 - x))}$

Etapa 5.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{5}{13} \sqrt{(13 + x) (13 - x)}$

Etapa 5.15

Combine $\frac{5}{13}$ e $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(13 + x) (13 - x)}}{13}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{(13 + x) (13 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(13 + x) (13 - x) \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$13 + x = 0$

$13 - x = 0$

Etapa 8.2

Defina $13 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Defina $13 + x$ como igual a $0$ .

$13 + x = 0$

Etapa 8.2.2

Subtraia $13$ dos dois lados da equação.

$x = - 13$

Etapa 8.3

Defina $13 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.3.1

Defina $13 - x$ como igual a $0$ .

$13 - x = 0$

Etapa 8.3.2

Resolva $13 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 8.3.2.1

Subtraia $13$ dos dois lados da equação.

$- x = - 13$

Etapa 8.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 13$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 8.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 13$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 13}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 13}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 1}$

Etapa 8.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.2.2.3.1

Divida $- 13$ por $- 1$ .

$x = 13$

Etapa 8.4

A solução final são todos os valores que tornam $(13 + x) (13 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 13, 13$

Etapa 8.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 13$

$- 13 < x < 13$

$x > 13$

Etapa 8.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 8.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 13$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 13$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 16$

Etapa 8.6.1.2

Substitua $x$ por $- 16$ na desigualdade original.

$(13 - 16) (13 - (- 16)) \geq 0$

Etapa 8.6.1.3

O lado esquerdo $- 87$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.2

Teste um valor no intervalo $- 13 < x < 13$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 13 < x < 13$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 8.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(13 + 0) (13 - (0)) \geq 0$

Etapa 8.6.2.3

O lado esquerdo $169$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 8.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 13$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 8.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 13$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 16$

Etapa 8.6.3.2

Substitua $x$ por $16$ na desigualdade original.

$(13 + 16) (13 - (16)) \geq 0$

Etapa 8.6.3.3

O lado esquerdo $- 87$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 8.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 13$ Falso

$- 13 < x < 13$ Verdadeiro

$x > 13$ Falso

$x < - 13$ Falso

$- 13 < x < 13$ Verdadeiro

$x > 13$ Falso

Etapa 8.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 13 \leq x \leq 13$

Etapa 9

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 13, 13]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 13 \leq x \leq 13}$

Etapa 10