Álgebra linear Exemplos

Encontre os Autovalores [[7,0,1],[-8,1,0],[-8,0,1]]
Etapa 1
Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica .
Etapa 2
A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho é a matriz quadrada com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.
Etapa 3
Substitua os valores conhecidos em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Substitua por .
Etapa 3.2
Substitua por .
Etapa 4
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1
Multiplique por cada elemento da matriz.
Etapa 4.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.2
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.2.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.2.2
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.3
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.4
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.4.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.5
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.6
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.6.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.6.2
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.7
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.7.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.7.2
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.8
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.8.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.8.2
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.9
Multiplique por .
Etapa 4.2
Adicione os elementos correspondentes.
Etapa 4.3
Simplify each element.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.3.1
Some e .
Etapa 4.3.2
Some e .
Etapa 4.3.3
Some e .
Etapa 4.3.4
Some e .
Etapa 4.3.5
Some e .
Etapa 4.3.6
Some e .
Etapa 5
Find the determinant.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in column by its cofactor and add.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Etapa 5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Etapa 5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Etapa 5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Etapa 5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Etapa 5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Etapa 5.1.9
Add the terms together.
Etapa 5.2
Multiplique por .
Etapa 5.3
Multiplique por .
Etapa 5.4
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.1
O determinante de uma matriz pode ser encontrado ao usar a fórmula .
Etapa 5.4.2
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1.1
Expanda usando o método FOIL.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 5.4.2.1.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 5.4.2.1.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 5.4.2.1.2
Simplifique e combine termos semelhantes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 5.4.2.1.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 5.4.2.1.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 5.4.2.1.2.1.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 5.4.2.1.2.1.5
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1.2.1.5.1
Mova .
Etapa 5.4.2.1.2.1.5.2
Multiplique por .
Etapa 5.4.2.1.2.1.6
Multiplique por .
Etapa 5.4.2.1.2.1.7
Multiplique por .
Etapa 5.4.2.1.2.2
Subtraia de .
Etapa 5.4.2.1.3
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1.3.1
Multiplique por .
Etapa 5.4.2.1.3.2
Multiplique por .
Etapa 5.4.2.2
Some e .
Etapa 5.4.2.3
Reordene e .
Etapa 5.5
Simplifique o determinante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.1
Combine os termos opostos em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.1.1
Some e .
Etapa 5.5.1.2
Some e .
Etapa 5.5.2
Expanda multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.
Etapa 5.5.3
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.3.1
Multiplique por .
Etapa 5.5.3.2
Multiplique por .
Etapa 5.5.3.3
Multiplique por .
Etapa 5.5.3.4
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.3.4.1
Mova .
Etapa 5.5.3.4.2
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.3.4.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 5.5.3.4.2.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 5.5.3.4.3
Some e .
Etapa 5.5.3.5
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
Etapa 5.5.3.6
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.3.6.1
Mova .
Etapa 5.5.3.6.2
Multiplique por .
Etapa 5.5.3.7
Multiplique por .
Etapa 5.5.3.8
Multiplique por .
Etapa 5.5.4
Some e .
Etapa 5.5.5
Subtraia de .
Etapa 5.5.6
Mova .
Etapa 5.5.7
Mova .
Etapa 5.5.8
Reordene e .
Etapa 6
Defina o polinômio característico como igual a para encontrar os autovalores .
Etapa 7
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
Fatore o lado esquerdo da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1.1
Fatore usando o teste das raízes racionais.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1.1.1
Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma , em que é um fator da constante e é um fator do coeficiente de maior ordem.
Etapa 7.1.1.2
Encontre todas as combinações de . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.
Etapa 7.1.1.3
Substitua e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a . Portanto, é uma raiz do polinômio.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1.1.3.1
Substitua no polinômio.
Etapa 7.1.1.3.2
Eleve à potência de .
Etapa 7.1.1.3.3
Multiplique por .
Etapa 7.1.1.3.4
Eleve à potência de .
Etapa 7.1.1.3.5
Multiplique por .
Etapa 7.1.1.3.6
Some e .
Etapa 7.1.1.3.7
Multiplique por .
Etapa 7.1.1.3.8
Subtraia de .
Etapa 7.1.1.3.9
Some e .
Etapa 7.1.1.4
Como é uma raiz conhecida, divida o polinômio por para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.
Etapa 7.1.1.5
Divida por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1.1.5.1
Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de .
--+-+
Etapa 7.1.1.5.2
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo pelo termo de ordem mais alta no divisor .
-
--+-+
Etapa 7.1.1.5.3
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
-
--+-+
-+
Etapa 7.1.1.5.4
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em .
-
--+-+
+-
Etapa 7.1.1.5.5
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
-
--+-+
+-
+
Etapa 7.1.1.5.6
Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.
-
--+-+
+-
+-
Etapa 7.1.1.5.7
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo pelo termo de ordem mais alta no divisor .
-+
--+-+
+-
+-
Etapa 7.1.1.5.8
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
-+
--+-+
+-
+-
+-
Etapa 7.1.1.5.9
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em .
-+
--+-+
+-
+-
-+
Etapa 7.1.1.5.10
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
-+
--+-+
+-
+-
-+
-
Etapa 7.1.1.5.11
Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.
-+
--+-+
+-
+-
-+
-+
Etapa 7.1.1.5.12
Divida o termo de ordem mais alta no dividendo pelo termo de ordem mais alta no divisor .
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
Etapa 7.1.1.5.13
Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
-+
Etapa 7.1.1.5.14
A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em .
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
+-
Etapa 7.1.1.5.15
Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.
-+-
--+-+
+-
+-
-+
-+
+-
Etapa 7.1.1.5.16
Já que o resto é , a resposta final é o quociente.
Etapa 7.1.1.6
Escreva como um conjunto de fatores.
Etapa 7.1.2
Fatore por agrupamento.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1.2.1
Fatore por agrupamento.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1.2.1.1
Para um polinômio da forma , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é e cuja soma é .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1.2.1.1.1
Fatore de .
Etapa 7.1.2.1.1.2
Reescreva como mais
Etapa 7.1.2.1.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 7.1.2.1.2
Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1.2.1.2.1
Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.
Etapa 7.1.2.1.2.2
Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.
Etapa 7.1.2.1.3
Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, .
Etapa 7.1.2.2
Remova os parênteses desnecessários.
Etapa 7.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 7.3
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.3.1
Defina como igual a .
Etapa 7.3.2
Some aos dois lados da equação.
Etapa 7.4
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.4.1
Defina como igual a .
Etapa 7.4.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.4.2.1
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 7.4.2.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.4.2.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 7.4.2.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.4.2.2.2.1
Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.
Etapa 7.4.2.2.2.2
Divida por .
Etapa 7.4.2.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.4.2.2.3.1
Divida por .
Etapa 7.5
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.5.1
Defina como igual a .
Etapa 7.5.2
Some aos dois lados da equação.
Etapa 7.6
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.