Álgebra linear Exemplos

$T ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - b + 5 d \\ - 4 a + 2 b - 10 d \end{array}]$

Etapa 1

A transformação define um mapa de $ℝ^{3}$ para $ℝ^{2}$ . Para provar que a transformação é linear, a transformação deve preservar a multiplicação escalar, a adição e o vetor zero.

T: $ℝ^{3} \to ℝ^{2}$

Etapa 2

Provar a transformação primeiro preserva esta propriedade.

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

Etapa 3

Estabeleça duas matrizes para testar se a propriedade da soma foi preservada para $T$ .

$T ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Etapa 4

Some as duas matrizes.

$T [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Etapa 5

Aplique a transformação ao vetor.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Etapa 6

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 6.1

Reorganize $2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})$ .

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Etapa 6.2

Reorganize $- 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3})$ .

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

Etapa 7

Agrupe as variáveis para quebrar o resultado em duas matrizes.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

Etapa 8

A propriedade de adição da transformação é verdadeira.

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

Etapa 9

Para que uma transformação seja linear, ela deve manter a multiplicação escalar.

$T (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}])$

Etapa 10

Fatore $p$ a partir de cada elemento.

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Etapa 10.1

Multiplique $p$ por cada elemento na matriz.

$T (p x) = T ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p d \end{array}])$

Etapa 10.2

Aplique a transformação ao vetor.

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - (p b) + 5 (p d)) \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

Etapa 10.3

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 10.3.1

Reorganize $2 ((p a) - (p b) + 5 (p d))$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

Etapa 10.3.2

Reorganize $- 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d))$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

Etapa 10.4

Fatore cada elemento da matriz.

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Etapa 10.4.1

Fatore o elemento $0, 0$ multiplicando $2 a p - 2 b p + 10 d p$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

Etapa 10.4.2

Fatore o elemento $1, 0$ multiplicando $- 4 a p - 8 b p + 40 d p$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ p (- 4 a - 8 b + 40 d) \end{array}]$

Etapa 11

A segunda propriedade das transformações lineares é preservada nesta transformação.

$T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = p T (x)$

Etapa 12

Para que a transformação seja linear, preserve o vetor zero.

$T (0) = 0$

Etapa 13

Aplique a transformação ao vetor.

$T (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - (0) + 5 (0) \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 14

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 14.1

Reorganize $2 (0) - (0) + 5 (0)$ .

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 14.2

Reorganize $- 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0$ .

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 15

O vetor zero é preservado pela transformação.

$T (0) = 0$

Etapa 16

Como as três propriedades das transformações lineares não correspondem, esta não é uma transformação linear.

Transformação linear