Álgebra linear Exemplos

$y = 3 x + 2$ , $x - 4 y = 9$

Etapa 1

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$y - 3 x = 2, x - 4 y = 9$

Etapa 2

Para encontrar a intersecção da reta através de um ponto $(p, q, r)$ perpendicular ao plano $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ e ao plano $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Encontre os vetores normais do plano $P_{1}$ e do plano $P_{2}$ , em que os vetores normais são $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ e $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Verifique se o produto escalar é 0.

2. Crie um conjunto de equações paramétricas como $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ .

3. Substitua essas equações na equação do plano $P_{2}$ , como $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , e resolva $t$ .

4. Usando o valor de $t$ , resolva as equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ para $t$ para encontrar a intersecção $(x, y, z)$ .

Etapa 3

Encontre os vetores normais de cada plano e determine se eles são perpendiculares ao calcular o produto escalar.

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Etapa 3.1

$P_{1}$ é $y - 3 x = 2$ . Encontre o vetor normal $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ da equação do plano da forma $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ - 3, 1, 0 ⟩$

Etapa 3.2

$P_{2}$ é $x - 4 y = 9$ . Encontre o vetor normal $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ da equação do plano da forma $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 1, - 4, 0 ⟩$

Etapa 3.3

Calcule o produto escalar de $n_{1}$ e $n_{2}$ com a soma dos produtos dos valores de $x$ , $y$ e $z$ correspondentes nos vetores normais.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4

Simplifique o produto escalar.

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Etapa 3.4.1

Remova os parênteses.

$- 3 \cdot 1 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 + 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 3 - 4 + 0 \cdot 0$

Etapa 3.4.2.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$- 3 - 4 + 0$

Etapa 3.4.3

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.4.3.1

Subtraia $4$ de $- 3$ .

$- 7 + 0$

Etapa 3.4.3.2

Some $- 7$ e $0$ .

$- 7$

Etapa 4

Em seguida, crie um conjunto de equações paramétricas $x = p + a t$ , $y = q + b t$ e $z = r + c t$ usando a origem $(0, 0, 0)$ para o ponto $(p, q, r)$ e os valores do vetor normal $- 7$ para os valores de $a$ , $b$ e $c$ . Esse conjunto de equações paramétricas representa a reta através da origem que é perpendicular a $P_{1}$ $y - 3 x = 2$ .

$x = 0 + - 3 \cdot t$

$y = 0 + 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Etapa 5

Substitua a expressão de $x$ , $y$ e $z$ na equação por $P_{2}$ $x - 4 y = 9$ .

$(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Etapa 6

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 6.1

Simplifique $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

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Etapa 6.1.1

Combine os termos opostos em $(0 - 3 \cdot t) - 4 (0 + 1 \cdot t)$ .

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Etapa 6.1.1.1

Subtraia $3 \cdot t$ de $0$ .

$- 3 \cdot t - 4 (0 + 1 \cdot t) = 9$

Etapa 6.1.1.2

Some $0$ e $1 \cdot t$ .

$- 3 \cdot t - 4 (1 \cdot t) = 9$

Etapa 6.1.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$- 3 t - 4 t = 9$

Etapa 6.1.3

Subtraia $4 t$ de $- 3 t$ .

$- 7 t = 9$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $- 7 t = 9$ por $- 7$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $- 7 t = 9$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 t}{- 7} = \frac{9}{- 7}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{9}{- 7}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t = - \frac{9}{7}$

Etapa 7

Resolva as equações paramétricas para $x$ , $y$ e $z$ usando o valor de $t$ .

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Etapa 7.1

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 7.1.1

Remova os parênteses.

$x = 0 - 3 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Etapa 7.1.2

Remova os parênteses.

$x = 0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$

Etapa 7.1.3

Simplifique $0 - 3 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

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Etapa 7.1.3.1

Multiplique $- 3 (- \frac{9}{7})$ .

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Etapa 7.1.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$x = 0 + 3 (\frac{9}{7})$

Etapa 7.1.3.1.2

Combine $3$ e $\frac{9}{7}$ .

$x = 0 + \frac{3 \cdot 9}{7}$

Etapa 7.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$x = 0 + \frac{27}{7}$

Etapa 7.1.3.2

Some $0$ e $\frac{27}{7}$ .

$x = \frac{27}{7}$

Etapa 7.2

Resolva a equação para $y$ .

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Etapa 7.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0 + 1 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Etapa 7.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$

Etapa 7.2.3

Simplifique $0 + 1 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

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Etapa 7.2.3.1

Multiplique $- \frac{9}{7}$ por $1$ .

$y = 0 - \frac{9}{7}$

Etapa 7.2.3.2

Subtraia $\frac{9}{7}$ de $0$ .

$y = - \frac{9}{7}$

Etapa 7.3

Resolva a equação para $z$ .

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Etapa 7.3.1

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (- 1 (\frac{9}{7}))$

Etapa 7.3.2

Remova os parênteses.

$z = 0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$

Etapa 7.3.3

Simplifique $0 + 0 \cdot (- \frac{9}{7})$ .

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Etapa 7.3.3.1

Multiplique $0 (- \frac{9}{7})$ .

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Etapa 7.3.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$z = 0 + 0 (\frac{9}{7})$

Etapa 7.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $\frac{9}{7}$ .

$z = 0 + 0$

Etapa 7.3.3.2

Some $0$ e $0$ .

$z = 0$

Etapa 7.4

As equações paramétricas resolvidas para $x$ , $y$ e $z$ .

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

$x = \frac{27}{7}$

$y = - \frac{9}{7}$

$z = 0$

Etapa 8

Usando os valores calculados para $x$ , $y$ e $z$ , o ponto de intersecção encontrado é $(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$ .

$(\frac{27}{7}, - \frac{9}{7}, 0)$