Álgebra linear Exemplos

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$

Etapa 1

Subtraia $16 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$

Etapa 2

Divida cada termo em $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ por $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida $144$ por $9$ .

$y^{2} = 16 + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

Etapa 2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = 16 - \frac{16 x^{2}}{9}$

Etapa 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Etapa 4

Simplifique $\pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Escreva a expressão usando expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - \frac{16 x^{2}}{9}}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $\frac{16 x^{2}}{9}$ como ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

Etapa 4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = \frac{4 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Etapa 4.3

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Etapa 4.4

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 3 + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Etapa 4.6

Fatore $4$ de $4 \cdot 3 + 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Etapa 4.6.2

Fatore $4$ de $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 (x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Etapa 4.6.3

Fatore $4$ de $4 (3) + 4 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

Etapa 4.7

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Etapa 4.8

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

Etapa 4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 \cdot 3 - 4 x}{3}}$

Etapa 4.10

Fatore $4$ de $4 \cdot 3 - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) - 4 x}{3}}$

Etapa 4.10.2

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) + 4 (- x)}{3}}$

Etapa 4.10.3

Fatore $4$ de $4 (3) + 4 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3 - x)}{3}}$

Etapa 4.11

Multiplique $\frac{4 (3 + x)}{3}$ por $\frac{4 (3 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (4 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.12

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Etapa 4.12.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

Etapa 4.13

Reescreva $\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}$ como ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.13.1

Fatore a potência perfeita ${(2^{2})}^{2}$ de $16 (3 + x) (3 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Etapa 4.13.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Etapa 4.13.3

Reorganize a fração $\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Etapa 4.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Etapa 4.15

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Etapa 4.16

Combine $\frac{4}{3}$ e $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Etapa 6

Defina o radicando em $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Etapa 7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Etapa 7.2

Defina $3 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Defina $3 + x$ como igual a $0$ .

$3 + x = 0$

Etapa 7.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 7.3

Defina $3 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Defina $3 - x$ como igual a $0$ .

$3 - x = 0$

Etapa 7.3.2

Resolva $3 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- x = - 3$

Etapa 7.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 7.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 7.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 7.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Etapa 7.4

A solução final são todos os valores que tornam $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 3, 3$

Etapa 7.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 7.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 7.6.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Etapa 7.6.1.3

O lado esquerdo $- 27$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.6.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 7.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Etapa 7.6.2.3

O lado esquerdo $9$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 7.6.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Etapa 7.6.3.3

O lado esquerdo $- 27$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 7.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 3 \leq x \leq 3$

Etapa 8

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 3, 3]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Etapa 9