Álgebra linear Exemplos

$16 x^{2} + 25 y^{2} + 32 x^{2} - 100 y - 284 = 0$

Etapa 1

Some $16 x^{2}$ e $32 x^{2}$ .

$48 x^{2} + 25 y^{2} - 100 y - 284 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 25$ , $b = - 100$ e $c = 48 x^{2} - 284$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (48 x^{2} - 284))}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 100$ à potência de $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $48$ por $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $- 100$ por $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.6

Some $10000$ e $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.7

Fatore $4800$ de $- 4800 x^{2} + 38400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Fatore $4800$ de $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.7.2

Fatore $4800$ de $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.7.3

Fatore $4800$ de $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.8

Reescreva $4800 (- x^{2} + 8)$ como $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Fatore $1600$ de $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.8.2

Reescreva $1600$ como $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Etapa 5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $- 100$ à potência de $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.4

Multiplique $48$ por $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.5

Multiplique $- 100$ por $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.6

Some $10000$ e $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.7

Fatore $4800$ de $- 4800 x^{2} + 38400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Fatore $4800$ de $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.7.2

Fatore $4800$ de $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.7.3

Fatore $4800$ de $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.8

Reescreva $4800 (- x^{2} + 8)$ como $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.1

Fatore $1600$ de $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.8.2

Reescreva $1600$ como $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Etapa 5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Etapa 5.5

Fatore $2$ de $10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Fatore $2$ de $10$ .

$y = \frac{2 (5) + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Etapa 5.5.2

Fatore $2$ de $4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Etapa 5.5.3

Fatore $2$ de $2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Etapa 6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Eleve $- 100$ à potência de $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.4

Multiplique $48$ por $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.5

Multiplique $- 100$ por $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.6

Some $10000$ e $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.7

Fatore $4800$ de $- 4800 x^{2} + 38400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.7.1

Fatore $4800$ de $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.7.2

Fatore $4800$ de $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.7.3

Fatore $4800$ de $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.8

Reescreva $4800 (- x^{2} + 8)$ como $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.8.1

Fatore $1600$ de $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.8.2

Reescreva $1600$ como $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.8.3

Adicione parênteses.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Etapa 6.3

Simplifique $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Etapa 6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Etapa 6.5

Fatore $2$ de $10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Fatore $2$ de $10$ .

$y = \frac{2 (5) - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Etapa 6.5.2

Fatore $2$ de $- 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Etapa 6.5.3

Fatore $2$ de $2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Etapa 7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Etapa 8

Defina o radicando em $\sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$3 (- x^{2} + 8) \geq 0$

Etapa 9

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Divida cada termo em $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Divida cada termo em $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Etapa 9.1.2.1.2

Divida $- x^{2} + 8$ por $1$ .

$- x^{2} + 8 \geq \frac{0}{3}$

Etapa 9.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$- x^{2} + 8 \geq 0$

Etapa 9.2

Subtraia $8$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} \geq - 8$

Etapa 9.3

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 8$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 9.3.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Etapa 9.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Etapa 9.5

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Etapa 9.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.1

Simplifique $\sqrt{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.1.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.1.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Etapa 9.5.2.1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 9.5.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Etapa 9.5.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Etapa 9.6

Escreva $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 9.6.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Etapa 9.6.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 9.6.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Etapa 9.6.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 9.7

Encontre a intersecção de $x \leq 2 \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Etapa 9.8

Resolva $- x \leq 2 \sqrt{2}$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1

Divida cada termo em $- x \leq 2 \sqrt{2}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1.1

Divida cada termo em $- x \leq 2 \sqrt{2}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 9.8.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 9.8.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 9.8.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.8.1.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Etapa 9.8.1.3.2

Reescreva $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ como $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Etapa 9.8.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Etapa 9.8.2

Encontre a intersecção de $x \geq - 2 \sqrt{2}$ e $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Etapa 9.9

Encontre a união das soluções.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Etapa 10

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Etapa 11