Álgebra linear Exemplos

$- 16 x^{2} + y^{2} - 32 x - 14 y + 17 = 0$

Etapa 1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 14$ e $c = - 16 x^{2} - 32 x + 17$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Eleve $- 14$ à potência de $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.4.1

Multiplique $- 16$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.4.2

Multiplique $- 32$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.4.3

Multiplique $- 4$ por $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.5

Subtraia $68$ de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6

Fatore $64$ de $64 x^{2} + 128 x + 128$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.6.1

Fatore $64$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.2

Fatore $64$ de $128 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.3

Fatore $64$ de $128$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.4

Fatore $64$ de $64 x^{2} + 64 (2 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.6.5

Fatore $64$ de $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.7

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Etapa 4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Eleve $- 14$ à potência de $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Multiplique $- 16$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4.2

Multiplique $- 32$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 4$ por $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Subtraia $68$ de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6

Fatore $64$ de $64 x^{2} + 128 x + 128$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Fatore $64$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.2

Fatore $64$ de $128 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.3

Fatore $64$ de $128$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.4

Fatore $64$ de $64 x^{2} + 64 (2 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.6.5

Fatore $64$ de $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.7

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Etapa 4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = 7 + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Etapa 5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $- 14$ à potência de $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Multiplique $- 16$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $- 32$ por $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $- 4$ por $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.5

Subtraia $68$ de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6

Fatore $64$ de $64 x^{2} + 128 x + 128$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Fatore $64$ de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2

Fatore $64$ de $128 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.3

Fatore $64$ de $128$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.4

Fatore $64$ de $64 x^{2} + 64 (2 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.5

Fatore $64$ de $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.7

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Etapa 5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = 7 - 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Etapa 6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = 7 + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

$y = 7 - 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Etapa 7

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + 2 x + 2 = 0$

Etapa 8.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 8.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Etapa 8.4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Etapa 8.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.5.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.5.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.5.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Etapa 8.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Etapa 8.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 1 + i$

Etapa 8.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.1.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.1.4

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Etapa 8.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Etapa 8.6.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Etapa 8.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 1 - i$

Etapa 8.7

Identifique o coeficiente de maior ordem.

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Etapa 8.7.1

O termo de maior ordem em um polinômio é o termo com o grau mais alto.

$x^{2}$

Etapa 8.7.2

O coeficiente de maior ordem de um polinômio é o coeficiente do termo de maior ordem.

$1$

Etapa 8.8

Como não há intersecções reais com o eixo x e o coeficiente de maior ordem é positivo, a parábola abre para cima e $x^{2} + 2 x + 2$ é sempre maior do que $0$ .

Todos os números reais

Etapa 9

O domínio consiste em números reais apenas.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 10