Álgebra linear Exemplos

$\frac{1}{49} x^{2} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Combine $\frac{1}{49}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

Etapa 1.2

Combine $\frac{1}{9}$ e $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Subtraia $\frac{x^{2}}{49}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{49}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Etapa 4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Etapa 4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique $9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 9 \cdot 1 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$y^{2} = 9 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $9 (- \frac{x^{2}}{49})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$y^{2} = 9 - 9 \frac{x^{2}}{49}$

Etapa 4.2.1.3.2

Combine $- 9$ e $\frac{x^{2}}{49}$ .

$y^{2} = 9 + \frac{- 9 x^{2}}{49}$

Etapa 4.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = 9 - \frac{9 x^{2}}{49}$

Etapa 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$

Etapa 6

Simplifique $\pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Escreva a expressão usando expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{9 x^{2}}{49}}$

Etapa 6.1.2

Reescreva $\frac{9 x^{2}}{49}$ como ${(\frac{3 x}{7})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{3 x}{7})}^{2}}$

Etapa 6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = \frac{3 x}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Etapa 6.3

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Etapa 6.4

Combine $3$ e $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Etapa 6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 7 + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Etapa 6.6

Fatore $3$ de $3 \cdot 7 + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Fatore $3$ de $3 \cdot 7$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Etapa 6.6.2

Fatore $3$ de $3 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 (x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Etapa 6.6.3

Fatore $3$ de $3 (7) + 3 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Etapa 6.7

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

Etapa 6.8

Combine $3$ e $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (\frac{3 \cdot 7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

Etapa 6.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 \cdot 7 - 3 x}{7}}$

Etapa 6.10

Fatore $3$ de $3 \cdot 7 - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.1

Fatore $3$ de $3 \cdot 7$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) - 3 x}{7}}$

Etapa 6.10.2

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) + 3 (- x)}{7}}$

Etapa 6.10.3

Fatore $3$ de $3 (7) + 3 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7 - x)}{7}}$

Etapa 6.11

Multiplique $\frac{3 (7 + x)}{7}$ por $\frac{3 (7 - x)}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x) (3 (7 - x))}{7 \cdot 7}}$

Etapa 6.12

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.12.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{7 \cdot 7}}$

Etapa 6.12.2

Multiplique $7$ por $7$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}}$

Etapa 6.13

Reescreva $\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}$ como ${(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.13.1

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $9 (7 + x) (7 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{49}}$

Etapa 6.13.2

Fatore a potência perfeita $7^{2}$ de $49$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}}$

Etapa 6.13.3

Reorganize a fração $\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))}$

Etapa 6.14

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{3}{7} \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Etapa 6.15

Combine $\frac{3}{7}$ e $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Etapa 7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Etapa 7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Etapa 7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Etapa 8

Defina o radicando em $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Etapa 9.2

Defina $7 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.2.1

Defina $7 + x$ como igual a $0$ .

$7 + x = 0$

Etapa 9.2.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 9.3

Defina $7 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.3.1

Defina $7 - x$ como igual a $0$ .

$7 - x = 0$

Etapa 9.3.2

Resolva $7 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 9.3.2.1

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$- x = - 7$

Etapa 9.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 7$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 9.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 9.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 9.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Etapa 9.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.2.2.3.1

Divida $- 7$ por $- 1$ .

$x = 7$

Etapa 9.4

A solução final são todos os valores que tornam $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 7, 7$

Etapa 9.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 9.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 9.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 9.6.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Etapa 9.6.1.3

O lado esquerdo $- 51$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.6.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 9.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Etapa 9.6.2.3

O lado esquerdo $49$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 9.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 9.6.3.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Etapa 9.6.3.3

O lado esquerdo $- 51$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 9.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 7$ Verdadeiro

$x > 7$ Falso

Etapa 9.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 7 \leq x \leq 7$

Etapa 10

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 7, 7]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Etapa 11