Álgebra linear Exemplos

$\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x^{2} + 7 x + 10$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $7$ .

$2, 5$

Etapa 2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 2) (x + 5) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.5

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 5$

Etapa 2.7

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.8

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 2, - 5$

$x = - 3$

Etapa 2.9

Consolide as soluções.

$x = - 2, - 5, - 3$

Etapa 2.10

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ .

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Etapa 2.10.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 3 = 0$

Etapa 2.10.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.10.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Etapa 2.11

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$x > - 2$

Etapa 2.12

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.12.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 2.12.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 7 (- 8) + 10}{(- 8) + 3} \geq 0$

Etapa 2.12.1.3

O lado esquerdo $- 3.6$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.12.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 2.12.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 10}{(- 4) + 3} \geq 0$

Etapa 2.12.2.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.12.3

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2.5$

Etapa 2.12.3.2

Substitua $x$ por $- 2.5$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 2.5)}^{2} + 7 (- 2.5) + 10}{(- 2.5) + 3} \geq 0$

Etapa 2.12.3.3

O lado esquerdo $- 2.5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.12.4

Teste um valor no intervalo $x > - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.12.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.12.4.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} + 7 (0) + 10}{(0) + 3} \geq 0$

Etapa 2.12.4.3

O lado esquerdo $3.\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.12.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadeiro

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 2$ Falso

$x > - 2$ Verdadeiro

Etapa 2.13

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 \leq x < - 3$ ou $x \geq - 2$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 3 = 0$

Etapa 4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 5, - 3) \cup [- 2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 5 \leq x < - 3, x \geq - 2}$

Etapa 6