Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 8 & 13 \\ 10 & 15 \end{array}]$

Etapa 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$8 \cdot 15 - 10 \cdot 13$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $8$ por $15$ .

$120 - 10 \cdot 13$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 10$ por $13$ .

$120 - 130$

Etapa 2.2.2

Subtraia $130$ de $120$ .

$- 10$

Etapa 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 10} [\begin{array}{c} 15 & - 13 \\ - 10 & 8 \end{array}]$

Etapa 5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{10} [\begin{array}{c} 15 & - 13 \\ - 10 & 8 \end{array}]$

Etapa 6

Multiplique $- \frac{1}{10}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{10} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{10}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{10} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.1.2

Fatore $5$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (2)} \cdot 15 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.1.3

Fatore $5$ de $15$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot 3) & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.1.4

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot 3) & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.1.5

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot 3 & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{- 1}{2}$ e $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & - \frac{1}{10} \cdot - 13 \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.5

Multiplique $- \frac{1}{10} \cdot - 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Multiplique $- 13$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 13 (\frac{1}{10}) \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.5.2

Combine $13$ e $\frac{1}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ - \frac{1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.6

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{10}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot - 10 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.6.2

Fatore $10$ de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 (- 1)) & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.6.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ \frac{- 1}{10} \cdot (10 \cdot - 1) & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.6.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ - 1 \cdot - 1 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{10}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{10} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.8.2

Fatore $2$ de $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 (5)} \cdot 8 \end{array}]$

Etapa 7.8.3

Fatore $2$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

Etapa 7.8.4

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

Etapa 7.8.5

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1}{5} \cdot 4 \end{array}]$

Etapa 7.9

Combine $\frac{- 1}{5}$ e $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 1 \cdot 4}{5} \end{array}]$

Etapa 7.10

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & \frac{- 4}{5} \end{array}]$

Etapa 7.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & \frac{13}{10} \\ 1 & - \frac{4}{5} \end{array}]$