Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 7 & 8 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Etapa 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$7 (\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \cdot 8$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Combine $7$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- \frac{2}{3} \cdot 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{7}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

Etapa 2.2.1.2.2

Combine $- 8$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{7}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Etapa 2.2.1.2.3

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}$

Etapa 2.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{7}{3} - \frac{16}{3}$

Etapa 2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 - 16}{3}$

Etapa 2.2.3

Subtraia $16$ de $7$ .

$\frac{- 9}{3}$

Etapa 2.2.4

Divida $- 9$ por $3$ .

$- 3$

Etapa 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

Etapa 5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

Etapa 6

Multiplique $- \frac{1}{3}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Etapa 7

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Etapa 7.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Etapa 7.2

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & 8 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Etapa 7.2.2

Combine $8$ e $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Etapa 7.3

Multiplique $- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ 1 (\frac{1}{3}) \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Etapa 7.3.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Etapa 7.3.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Etapa 7.4

Multiplique $- \frac{1}{3} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - 7 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Etapa 7.4.2

Combine $- 7$ e $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]$

Etapa 7.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{array}]$