Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 5 x & - 4 y \\ 6 x & - 5 y \end{array}]$

Etapa 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 x (- 5 y) - 6 x (- 4 y)$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 \cdot - 5 x y - 6 x (- 4 y)$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $5$ por $- 5$ .

$- 25 x y - 6 x (- 4 y)$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 25 x y - 6 \cdot - 4 x y$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $- 6$ por $- 4$ .

$- 25 x y + 24 x y$

Etapa 2.2.2

Some $- 25 x y$ e $24 x y$ .

$- x y$

Etapa 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Etapa 5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x y} [\begin{array}{c} - 5 y & 4 y \\ - 6 x & 5 x \end{array}]$

Etapa 6

Multiplique $- \frac{1}{x y}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{x y} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x y}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{x y} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.1.2

Fatore $y$ de $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (- 5 y) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.1.3

Fatore $y$ de $- 5 y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (y \cdot - 5) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.1.4

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{y x} (y \cdot - 5) & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.1.5

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{x} \cdot - 5 & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{- 1}{x}$ e $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 5}{x} & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 7.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x y}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{x y} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.4.2

Fatore $y$ de $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (4 y) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.4.3

Fatore $y$ de $4 y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (y \cdot 4) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.4.4

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{y x} (y \cdot 4) \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.4.5

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1}{x} \cdot 4 \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.5

Combine $\frac{- 1}{x}$ e $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 1 \cdot 4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & \frac{- 4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ - \frac{1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.8

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x y}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x y} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.8.2

Fatore $x$ de $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x (y)} (- 6 x) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.8.3

Fatore $x$ de $- 6 x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x (y)} (x \cdot - 6) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.8.4

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{x y} (x \cdot - 6) & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.8.5

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- 1}{y} \cdot - 6 & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.9

Combine $\frac{- 1}{y}$ e $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{- - 6}{y} & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.10

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & - \frac{1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.11

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.11.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x y}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x y} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.11.2

Fatore $x$ de $x y$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x (y)} (5 x) \end{array}]$

Etapa 7.11.3

Fatore $x$ de $5 x$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x (y)} (x \cdot 5) \end{array}]$

Etapa 7.11.4

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{x y} (x \cdot 5) \end{array}]$

Etapa 7.11.5

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1}{y} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 7.12

Combine $\frac{- 1}{y}$ e $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 1 \cdot 5}{y} \end{array}]$

Etapa 7.13

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & \frac{- 5}{y} \end{array}]$

Etapa 7.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{x} & - \frac{4}{x} \\ \frac{6}{y} & - \frac{5}{y} \end{array}]$