Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 10 \\ 10 & 30 \end{array}]$

Etapa 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 30 - 10 \cdot 10$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $5$ por $30$ .

$150 - 10 \cdot 10$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 10$ por $10$ .

$150 - 100$

Etapa 2.2.2

Subtraia $100$ de $150$ .

$50$

Etapa 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{50} [\begin{array}{c} 30 & - 10 \\ - 10 & 5 \end{array}]$

Etapa 5

Multiplique $\frac{1}{50}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{50} \cdot 30 & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $10$ de $50$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10 (5)} \cdot 30 & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.1.2

Fatore $10$ de $30$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot 3) & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot 3) & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.1.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} \cdot 3 & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{50} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $10$ de $50$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{10 (5)} \cdot - 10 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.3.2

Fatore $10$ de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot - 1) \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.3.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot - 1) \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.3.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot - 1 \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.4

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{- 1}{5} \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{50} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Fatore $10$ de $50$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{10 (5)} \cdot - 10 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.6.2

Fatore $10$ de $- 10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot - 1) & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.6.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{10 \cdot 5} \cdot (10 \cdot - 1) & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.6.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \cdot - 1 & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.7

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ \frac{- 1}{5} & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{50} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.9

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1

Fatore $5$ de $50$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{5 (10)} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.9.2

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{5 \cdot 10} \cdot 5 \end{array}]$

Etapa 6.9.3

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{10} \end{array}]$