Álgebra linear Exemplos

${[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]}^{3}$

Etapa 1

To evaluate a square matrix to a positive integer power $n$ , multiply $n$ copies of the matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

Etapa 2

Multiplique $[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

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Etapa 2.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Etapa 2.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 & 1 \cdot - 2 - 2 \cdot - 4 \\ 3 \cdot 1 - 4 \cdot 3 & 3 \cdot - 2 - 4 \cdot - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

Etapa 2.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 9 & 10 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$

Etapa 3

Multiplique $[\begin{array}{c} - 5 & 6 \\ - 9 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 4 \end{array}]$ .

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Etapa 3.1

Etapa 3.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 + 6 \cdot 3 & - 5 \cdot - 2 + 6 \cdot - 4 \\ - 9 \cdot 1 + 10 \cdot 3 & - 9 \cdot - 2 + 10 \cdot - 4 \end{array}]$

Etapa 3.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} 13 & - 14 \\ 21 & - 22 \end{array}]$

Etapa 4

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 5

Find the determinant.

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Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$13 \cdot - 22 - 21 \cdot - 14$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $13$ por $- 22$ .

$- 286 - 21 \cdot - 14$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 21$ por $- 14$ .

$- 286 + 294$

Etapa 5.2.2

Some $- 286$ e $294$ .

$8$

Etapa 6

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 7

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{8} [\begin{array}{c} - 22 & 14 \\ - 21 & 13 \end{array}]$

Etapa 8

Multiplique $\frac{1}{8}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \cdot - 22 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (4)} \cdot - 22 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.1.2

Fatore $2$ de $- 22$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 11) & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 11) & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.1.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot - 11 & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 11}{4} & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{8} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 (4)} \cdot 14 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.4.2

Fatore $2$ de $14$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot 7) \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.4.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot 7) \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.4.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{1}{4} \cdot 7 \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.5

Combine $\frac{1}{4}$ e $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ \frac{1}{8} \cdot - 21 & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.6

Combine $\frac{1}{8}$ e $- 21$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ \frac{- 21}{8} & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ - \frac{21}{8} & \frac{1}{8} \cdot 13 \end{array}]$

Etapa 9.8

Combine $\frac{1}{8}$ e $13$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11}{4} & \frac{7}{4} \\ - \frac{21}{8} & \frac{13}{8} \end{array}]$