Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}]$

Etapa 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Etapa 2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Etapa 2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6}$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 2.2.1.2.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 6}$

Etapa 2.2.1.2.4

Multiplique $3$ por $6$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{18}$

Etapa 2.2.2

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{18}$

Etapa 2.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $18$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{6}{3 \cdot 6} + \frac{1}{18}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$- \frac{6}{18} + \frac{1}{18}$

Etapa 2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 6 + 1}{18}$

Etapa 2.2.5

Some $- 6$ e $1$ .

$\frac{- 5}{18}$

Etapa 2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5}{18}$

Etapa 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Etapa 5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Etapa 6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (1 (\frac{18}{5})) [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Etapa 7

Multiplique $\frac{18}{5}$ por $1$ .

$- \frac{18}{5} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Etapa 8

Multiplique $- \frac{18}{5}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{18}{5}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{- 18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.1.2

Fatore $3$ de $- 18$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.1.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} \frac{- 6}{5} \cdot 4 & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.2

Combine $\frac{- 6}{5}$ e $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 6 \cdot 4}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.3

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 9.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{18}{5}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.5.2

Fatore $6$ de $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.5.3

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 \cdot - 3}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.5.4

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{18}{5}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.7.2

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.7.3

Fatore $3$ de $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.7.4

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.7.5

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6}{5} \cdot - 1 & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.8

Combine $\frac{- 6}{5}$ e $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6 \cdot - 1}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.9

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{18}{5}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Etapa 9.10.2

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Etapa 9.10.3

Fatore $2$ de $- 18$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 (- 9)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Etapa 9.10.4

Fatore $2$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Etapa 9.10.5

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Etapa 9.10.6

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2} \end{array}]$

Etapa 9.11

Multiplique $\frac{- 9}{5}$ por $\frac{- 1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9 \cdot - 1}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Etapa 9.12

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Etapa 9.13

Multiplique $5$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{10} \end{array}]$