Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Etapa 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Etapa 2

Find the determinant.

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Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Etapa 2.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Etapa 2.2.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Etapa 2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2}$

Etapa 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Etapa 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (1 \cdot 2) [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 7

Multiplique $- (1 \cdot 2)$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 7.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 8

Multiplique $- 2$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Etapa 9

Simplifique cada elemento da matriz.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Etapa 9.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Etapa 9.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 (- 1) \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 9.4.2

Cancele o fator comum.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \end{array}]$

Etapa 9.4.3

Reescreva a expressão.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$