Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 4 - x & - 2 & 0 \\ - 3 & 7 - x & 0 \\ 5 & 7 & 3 - x \end{array}]$

Etapa 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $3$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.3

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$

Etapa 1.4

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$

Etapa 1.5

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$

Etapa 1.6

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$

Etapa 1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Etapa 1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Etapa 1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} | + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Etapa 2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} - 3 & 7 - x \\ 5 & 7 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} | + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Etapa 3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ 5 & 7 \end{array} |$ .

$0 + 0 + (3 - x) | \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$

Etapa 4

Avalie $| \begin{array}{c} 4 - x & - 2 \\ - 3 & 7 - x \end{array} |$ .

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Etapa 4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + 0 + (3 - x) ((4 - x) (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Expanda $(4 - x) (7 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 + 0 + (3 - x) (4 (7 - x) - x (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$0 + 0 + (3 - x) (4 \cdot 7 + 4 (- x) - x (7 - x) - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$0 + 0 + (3 - x) (4 \cdot 7 + 4 (- x) - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.2.1.1

Multiplique $4$ por $7$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 + 4 (- x) - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - x \cdot 7 - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.2.1.3

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - x (- x) - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.2.1.5.1

Mova $x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x + 1 x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.2.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 4 x - 7 x + x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.2.2

Subtraia $7 x$ de $- 4 x$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - (- 3 \cdot - 2))$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- (- 3 \cdot - 2)$ .

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Etapa 4.2.1.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - 1 \cdot 6)$

Etapa 4.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$0 + 0 + (3 - x) (28 - 11 x + x^{2} - 6)$

Etapa 4.2.2

Subtraia $6$ de $28$ .

$0 + 0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Etapa 5

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.1

Combine os termos opostos em $0 + 0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ .

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Etapa 5.1.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + (3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Etapa 5.1.2

Some $0$ e $(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ .

$(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$

Etapa 5.2

Expanda $(3 - x) (- 11 x + x^{2} + 22)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$3 (- 11 x) + 3 x^{2} + 3 \cdot 22 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Etapa 5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 11$ por $3$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 22 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Etapa 5.3.2

Multiplique $3$ por $22$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - x (- 11 x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Etapa 5.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Etapa 5.3.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.4.1

Mova $x$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Etapa 5.3.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 - 1 \cdot - 11 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 11$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot 22$

Etapa 5.3.6

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.6.1

Mova $x^{2}$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot 22$

Etapa 5.3.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.3.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 22$

Etapa 5.3.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot 22$

Etapa 5.3.6.3

Some $2$ e $1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - x \cdot 22$

Etapa 5.3.7

Multiplique $22$ por $- 1$ .

$- 33 x + 3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - 22 x$

Etapa 5.4

Subtraia $22 x$ de $- 33 x$ .

$3 x^{2} + 66 + 11 x^{2} - x^{3} - 55 x$

Etapa 5.5

Some $3 x^{2}$ e $11 x^{2}$ .

$14 x^{2} + 66 - x^{3} - 55 x$