Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} a & a & b \\ a & b & a \\ b & a & a \end{array}]$

Etapa 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

Etapa 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

Etapa 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

Etapa 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

Etapa 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Etapa 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Etapa 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} | - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Etapa 2

Avalie $| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a \cdot a) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Etapa 2.2

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Mova $a$ .

$a (b a - (a \cdot a)) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Etapa 3

Avalie $| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a \cdot a - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Etapa 3.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Etapa 4

Avalie $| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a \cdot a - b \cdot b)$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $a$ por $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b \cdot b)$

Etapa 4.2.2

Multiplique $b$ por $b$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Mova $b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - (b \cdot b))$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $b$ por $b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$a (b a) + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.2

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Mova $a$ .

$a \cdot a b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.2.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$a^{2} b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a^{2} b - a \cdot a^{2} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.4

Multiplique $a$ por $a^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Mova $a^{2}$ .

$a^{2} b - (a^{2} a) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $a^{2}$ por $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$a^{2} b - (a^{2} a^{1}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a^{2} b - a^{2 + 1} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.4.3

Some $2$ e $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{2} b - a^{3} - a \cdot a^{2} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.6

Multiplique $a$ por $a^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

Mova $a^{2}$ .

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.6.2

Multiplique $a^{2}$ por $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.2.1

Eleve $a$ à potência de $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a^{1}) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a^{2} b - a^{3} - a^{2 + 1} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.6.3

Some $2$ e $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.7

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Mova $a$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - (a \cdot a) (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.7.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a^{2} (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.8.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - 1 \cdot - 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.8.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.8.3

Multiplique $a^{2}$ por $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Etapa 5.1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} + b (- b^{2})$

Etapa 5.1.10

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b \cdot b^{2}$

Etapa 5.1.11

Multiplique $b$ por $b^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.11.1

Mova $b^{2}$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b)$

Etapa 5.1.11.2

Multiplique $b^{2}$ por $b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.11.2.1

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b^{1})$

Etapa 5.1.11.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{2 + 1}$

Etapa 5.1.11.3

Some $2$ e $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Etapa 5.2

Some $a^{2} b$ e $a^{2} b$ .

$- a^{3} - a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Etapa 5.3

Subtraia $a^{3}$ de $- a^{3}$ .

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Etapa 5.4

Some $2 a^{2} b$ e $b a^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Reordene $b$ e $a^{2}$ .

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + a^{2} b - b^{3}$

Etapa 5.4.2

Some $2 a^{2} b$ e $a^{2} b$ .

$- 2 a^{3} + 3 a^{2} b - b^{3}$